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1、第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质［知识预备］★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（U）,交（n）另外，集合的“和”（+）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。1.线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用等表示；K是一个数域，其元素用等表示。如果V满足［如下8条性质，分两类］:（
2、I）在V中定义一个“加法”运算，即当X,jeV吋，有唯一的和X+JGV（封闭性），且加法运算满足下列性质:（1）结合律x+（y+z）=（工+刃+z;（2）交换律x+j=j+x；（3）零元律存在零元素O,使x+O=x；（4）负元律对于任一元素xwV,存在一元素ywV，使x+y=0,JDL称丿为x的负兀素，记为（-兀）o则有兀+（-兀）=0o（II）在V中定义一个“数乘”运算，即当xeV.keK时，有唯一的处"（封闭性人且数乘运算满足下列性质:(5)数因子分配律k(xy)=kx+ky;(6)分配律(k+l)x=kx+lx;(7)结合律k(lx)=(kl)x;(8
3、)恒等律[数域中一定有1]则称V为数域K上的线性空间。注意以下几点:1）线性空间是基于一定数域來的。同一个集合，对于不同数域,就可能构成不同的线性空间，其至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。2）两种运算、八条性质。数域K屮的运算是具体的四则运算,而V中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。当数域K为实数域时,V就称为实线性空间；K为复数域，V就称为复线性空间。例1.设疋=｛全体正实数｝,其“加法”及“数乘”运算定义为x±ly=xy,kox=x证明：Q是实数域R上的线
4、性空间。1证明］首先需耍证明两种运算的唯一性和封闭性①唯一,性和封闭性唯一性显然若兀>0,y>0,keR,贝lj有=R+,koX=xkeR+封I刃'性得证。②八条性质(1)xi±J(ji±iz)=x(yz)=(xy)z=(xi±J(2)x±ly=xy=yx=yl±JxX=X*K=1［x^y=O］(3)1是零兀素xEl=x•1=x［xElO=x—>xO=x—>O=1］(4)乂是兀的负元素xi±J(5)ko(x±ly)=(xy)k=xkyk=(kox)^(koy)［数因子分配律］(6)(k+l)oX=xM=xkxl=(*oX)a(ZoX)［分配律］(7)Ar
5、o(Zox)=(xl)k=xkl=(kl)。x［结合律］(8)1ox=x1=x［f旦等律］由此可证，R+是实数域R上的线性空间。1.定理：线性空间具有如下性质(1)零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。(2)如下恒等式成立：0x=O,(-l)x=(-X)o［证明］(1)采用反证法：①零元素是唯一的。设存在两个零元素。和。2,则由于°和。2均为零元素，按零元律有［交换律］O］+O*=O］=O?+O］=o°所以0=()2即。和q相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。②任一元素的负元素也是唯一的。假设VxeV,存在两个负元素y和z，则根据负元律有y=y+o
6、=y+(x+z)=(j+x)+z=o+z=z［零元律］［结合律］［零元律］即y和z和同，故负元素唯一。(2)①：设w=0工，贝0x+w=1兀+Ox=(1+0)x=兀，故w=0。Hl等律］②：设w=(-l)兀,贝
7、JX4-w=lx4-(-l)x=Ox=0,故w=-x。1.线性相关性线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。•线性组合：0兀1，兀2…心W匕勺心…心6Km1=1称为元素组心，工2…,4的一个线性组合。•线性表示:V中某个元素工可表示为其中某个元素组的线性组合,则称兀可由该元素组线性表示。•线性相关性：如果存在一组不全为零的数C”C2
8、-,C”,wK,使得对于元素心,兀2…，兀加WV有m&心=0<=1则称元素组X,,x2-,xm线性相关，否则称其线性无关。线性相关性概念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。1.线性空间的维数定义：线性空间V中最大线性无关元素组所含元索个数称为V的维数,记为dimVo本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及。例2.全体mXn阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运算），求其维数。［解］一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简单。令仇•为这样的一个mXn阶矩阵，其（心）元素为1,其余元素
9、为零。显然，这样的矩阵共有mXn个，构成一个具有mX
