概率统计(2.1-2.2)

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1、第二章随机变量2.1随机变量的定义2.2离散型随机变量2.3连续型随机变量与随机变量的分布函数2.4随机变量函数的分布2.1随机变量的定义1、有些试验结果本身与数值有关.例如：掷一颗骰子面上出现的点数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.例如：在掷硬币试验E1中,引入变量：X＝1出正面0出反面为了方便地研究随机试验的各种结果及它们发生的概率，通常把随机试验的结果进行数量化。定义:随机试验E的样本空间为＝{e},若对于每个e,有唯一实数X(e)与之对应,

2、这样就得到一个定义在上的实的单值函数X(e),称其为：随机变量.e1e2e3e4X(e1)X(e2)X(e3)X(e4)例.设盒中有其中2白、3黑5个球,从中随便抽取2个球,则“抽得的白球数”X是个随机变量.事件：{取到2白}＝{X=2}用随机变量取值表示事件：随机变量与一般函数的区别函数定义域随机性概率一般函数实数轴某个范围无无随机变量样本空间不一定是实数集有取每个值都有确定的概率随机变量的分类通常分为两类：随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”.2.2离散型随机变量这样，我们就掌握了

3、X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为：例1且X取各个可能值的概率，即事件的概率为（1）称（1）式为离散型随机变量X的概率分布或分布律.定义设离散型随机变量X所有可能取的值为一.离散型随机变量的概率分布分布律也可以直观地用下面的表格来表示：由概率的定义，式（1）中的应满足以下条件：这两条性质判断某函数是否是概率分布例3某系统有两台机器相互独立地运转．设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，求X的分布律．解故所求概率

4、分布为：1.0－1分布设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是则称X服从（0－1）分布或两点分布．（0－1）分布的分布律也可写成二、常见的离散型随机变量的概率分布对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们总能在W上定义一个服从（0－1）分布的随机变量．来描述这个随机试验的结果。检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述．设试验只有两个可能结果：及,则称为伯努利（Bernoulli）试验．设，此时,将E独立重复地进行n次

5、，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.2.二项分布若随机变量X的概率分布为：则称X服从参数为n、p的二项分布.其中q=1－p记为:X～b(n，p)在n次重复进行的Bernoulli试验中，设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数,成功的概率为p,则它的分布律为：A发生的次数X～b(n、p).当n=1时,P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为0-1分布.注例4.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)

6、求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:例5已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产品中随机地抽查20件，问恰好有k(k=0,1,2,…,20)件次品的概率是多少？解这是不放回抽样．但由于这批产品的总数很大，且抽查的产品的数量相对于产品的总数来说又很小，因而可以当作放回抽样来处理．我们将检查一件产品是否为次品看成是一次试验，检查20件产品相当于做20重伯努利试验．以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X是一个随机变量，且X～b(20,0.2),则所求的概率为将计算结果列

7、表如下：kk0123450.0120.0580.1370.2050.2180.175678910≥110.1090.0550.0220.0070.002<0.001作出上表的图形，如下图所示3.泊松分布例6商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l=10的泊松分布．为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？解查泊松分布表知只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销．21泊松(Poisson)定理：证：泊松定理的意义：1.在定理的条件下,二项

8、分布的极限分布是泊松分布.2.当n很大且p又较小时,这就是二项分布的概率近似计算公式。例7.某人进行射击,每次命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.解：设X为射击命中次数。则用Poissn定理：