概率论和数理统计随机变量的数字特征

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1、1§1.3随机变量的数字特征一、数学期望与方差二、协方差与协方差2若当级数绝对收敛时，称为随机变量X的数学期望，记为E（X），即Xx1x2x3………xn…Pkp1p2p3………pn…1、数学期望的定义定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则当广义积分绝对收敛时，称此积分的值为随机变量X的数学期望，记为E（X），即E（X）=E(X)=一、数学期望与方差1、定义1设离散型随机变量X的分布律为：32、数学期望的性质：（4）若X，Y为两个相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）（1）设C是常数，则E（C）=C这里C视为退化的随机变量（2）设X为一随机变量，C为常数，则有E（CX）=

2、CE（X）（3）设X，Y为两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）注：(1)相互独立时(2)4例2、已知X～E(X)，求Y=2X-1的数学期望解依题意知，X的概率密度为于是进而3、随机变量函数的数学期望⑴离散型:X的分布率为:P{X=xk}=Pk,k=1,2…且级数5⑵连续型:X的概率密度为f(x)，若积分(1)已知随机变量X的分布,求其函数Y=g(X)的期望:绝对收敛绝对收敛6（2）连续型R.V(X，Y)的概率密度为:f(x,y)则有（1）离散型(X，Y)的分布律为：(2)、已知随机变量（X,Y）的分布，求函数Z=g(X,Y)的数学期望求的期望例3：已知随机变量X的概率密度为7例1

3、.26设随机变量解依题知，X的概率密度为故4、方差的概念8另外，记，称为标准差或均方差D（x）=Var（X）=存在,则称之为X的方差.记为D（X）或Var(X)定义若X是一随机变量，若5、方差的计算方法：当X为离散型随机变当X是连续型随机变量常用公式:9例5：已知X~U(a,b)，求E(X)和D(X).解由题知，X的概率密度为于是有而6、方差的性质:10(1)D(C)＝0;(2)D(CX)=C2D(X);(3)当X、Y独立,D(X+Y)=D(X)+D(Y);(4)D(X)=0等价于P﹛X=C﹜=1.(C为常数)7、常见分布的期望方差:11(5)均匀分布:(1)二点分布:(2)二项分布:(3)泊

4、松分布:(4)正态分布:E(X)=npD(X)=np(1-p)(6)指数分布E(X)=pD(X)=pq12例1.29设X～E(t)，Y～N(0,t2)，(t>0)且X与Y相互独立，而Z=2X-3Y+1，试求E(Z)和E(Z2).解因X～E(t)，Y～N(0,t2)故所以131、协方差:设随机变量X与YCov(X,Y)=E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}称其为X与Y的协方差,也记为XY注：Cov(X,X)=E{[X-E（X）][X-E（X）]}=D(X)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).为X,Y的相关系数.2、相关系数:称数值二、协方差与相关系数14例1.30设(X,Y)的概

5、率密度为解因定理1.2提供的公式，直接有于是有153、性质：注:(1)当较大时,我们通常说X与Y的线性相关程度较好;当较小时，我们说X与Y的线性相关程度较差.(2)XY=0我们也称X与Y不相关.注：设二维随机变量则X与Y的相关系数为16(4)X与Y的k+l阶混合中心矩设(X,Y)是随机变量，k,l是整数注：数学期望是的一阶原点矩，方差是二阶中心矩，协方差是二阶混合中心矩。4、随机变量的矩