概率论与数理统计第五章随机变量的数字特征

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1、第五章随机变量的数字特征概率论与数理统计方差和标准差2协方差、相关系数和矩3数学期望1第五章随机变量的数字特征第一节数学期望12数学期望概念数学期望的性质一、数学期望概念定义1设离散型随机变量X的分布律为其中，若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望(Mathematicalexpectation)，记为E(X).即E(X)=，数学期望简称期望，又称为均值.一、数学期望概念例1甲、乙两人进行射击，所得分数分别记为，，它们的分布律分别为试评定他们的成绩的好坏.一、数学期望概念解很明显，乙的成绩不如甲的成绩.一、数学期望概念定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若

2、积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X).即一、数学期望概念例2设X有分布律求一、数学期望概念解：一、数学期望概念例3设随机变量X的概率密度为求的数学期望.解：一、数学期望概念例4设(X,Y)服从A上的均匀分布，其中A为由x轴、y轴及直线x+y=1围成的平面三角形区域，求E(3X+Y)解：，则二、数学期望的性质1.设c是常数，则有E(c)=c.2.设X是一个随机变量，c是常数，则有E(cX)=cE(X)3.设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).4.设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)二、数学期望的性质例

3、5一客车载有20位乘客，途经10个车站，车上乘客只下不上.如到达一个车站没有乘客下车就不停车.设X为停车的次数，求E(X)（设每位乘客在各个车站下车是等可能的，并设各乘客是否下车相互独立）。解：设第二节方差和标准差12方差常见分布的方差3方差的性质一、方差定义3设X是一个随机变量，若存在，则称为X的方差（Variance），记为D(X)或Var(X)，即==在实际应用中，为了与的单位一致，又引入了，记为，称为标准差(Standarddeviation)或均方差(Meansquaredeviation).一、方差例5证明证由数学期望的性质得二、常见分布的方差……三、方差的性质1.

4、设c是常数，则有D(c)=0.2.设X是一个随机变量，c是常数，则有3.设X,Y是两个随机变量，则有特别地，若X,Y相互独立，则有第三节协方差、相关系数和矩12协方差概念协方差性质34相关系数矩(Moment)一、协方差概念定义4称为随机变量X与Y的协方差(Covariance)，记为即将的定义式展开，可得二、协方差性质1.2.3.4.5.三、相关系数定义5称为随机变量X与Y的相关系数（Correlationcoefficient），或标准协方差（StandardCovariance)。三、相关系数例7设(X,Y)的分布律为求三、相关系数解三、相关系数相关系数是一个无量纲的量，

5、有如下性质：1.；2.当时，称X和Y不相关；3.当时，称X和Y完全相关，其充要条件为：存在常数使得三、相关系数上述性质说明X与Y的相关系数是衡量X与Y之间线性相关程度的量。当时，Y随X的增大而线性地增大，此时称X与Y线性正相关（Positivecorrelation）;当时，Y随X的增大而线性地减小，此时称X与Y线性负相关（Negativecorrelation）.当时，X与Y之间就不存在线性关系，此时称X与Y不相关（Uncorrelated）。四、矩(Moment)定义6设X是随机变量，若存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。若存在，称它为X的k阶中心距。Thankyou