博弈论的应用

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1、第29章博弈论的应用本章主要研究博弈论中的4个非常重要的问题：合作问题、竞争问题、共存问题和承诺问题。一、博弈论分析的重要工具1、最优反应曲线在两个人的博弈中，假如存在一个纳什均衡，这个纳什均衡可以如下表示：假设参与人A的选择为r1，r2，…，rr，参与人B的选择为c1，c2，…，cc。对于参与人A的每一个选择r，bc(r)表示参与人B的最优反应。相应地，对于参与人B的每一个选择r，br(c)表示参与人A的最优反应。纳什均衡为：c*=bc(r),r*=br(c)——反应函数即：每个人的选择正好是对方对自己预期的选择——

2、“相互一致”。根据以上函数可以得到反应曲线。2、混合策略在以下收益矩阵，我们令参与人A选择“上”的概率为r，选择“下”的概率为1-r，同样，我们令参与人B选择“左”的概率为c，选择“右”的概率为1-c。当r和c等于0时，相应的策略为纯策略。根据收益矩阵和参与人选择的概率，可以得到参与人的期望收益。同学A同学B上下左右2，10，00，01，2根据上表，参与人A的期望收益为：2rc+(1-r)(1-c)。即：2rc+1-r-c+rc。如果r增加了△r，A的收益变化为：2c△r-△r+c△r=（3c-1)△r。即如果3c>1

3、时，A将增加r,如果3c<1，A将减少r，如果3c=1时，他对于任意的0≤r≤1无差异。组合概率参与人A的收益上，左rc2下，左(1-r)c0上，右r(1-c)0下，右(1-r)(1-c)1根据同样的方法，得到参与人B的期望受益：cr+2(1-c)(1-r)。当c增加△c时，B的收益变化为:(3r-2)△c。因此，当r>2/3时，B增加c将增加收益；当r<2/3时，B将减少c；当r=2/3时，他对于任意的0≤c≤1无差异。利用以上两个结论可以绘制参与人的最优反映曲线。如果参与人B选择c=0，那么参与人A将减少r，使r尽

4、可能小，所以r=0。因此，参与人A使r=0就是对c=0的最优反应。并且，r=0一直都是A的最优反应，直至c=1/3。当c=1/3，0≤r≤1都是A的最优反应。对于所有的c>1/3，行参与人的最优反应是r=1。•0•c1/3r1•1•A的反映曲线•2/3•B的反映曲线•••三个紫色的点为纳什均衡，两个为纯策略均衡。二、合作博弈又称协调博弈，在这类博弈中，当参与人能够协调他们之间的策略时，他们的收益就会最大。关键是如何创建这种协调机制。1、性别战假设有一个男孩和一个女孩约会看电影，但他们事先没有约好看哪一部电影，而且都忘了

5、对方的电话号码，所以没有办法协调他们的约会，只能猜测对方喜欢看那一部电影。男孩想看最新推出的动作片，女孩喜欢看文艺片，但他们都宁愿看同一部电影也不愿意放弃约会。协调博弈的特征：参与人在协调行动时获得的收益要大于单独行动时的收益。性别战的纳什均衡在以下的收益矩阵中，可以用上一节中的反应曲线来求解纳什均衡。根据上节的结论，存在三个纳什均衡：上方都选择动作片或文艺片，或者双方分别按2/3的概率选择各自偏好的影片。究竟哪种均衡会发生，要依据特殊情况而定。当参与人完全有理由相信，其中的一个均衡相对于其他的均衡更“自然”，这个均衡

6、将是最终的选择点，被称为博弈的聚点。男孩女孩动作片文艺片动作片文艺片2，10，00，01，22、囚徒困境在该博弈中，坦白是一个占优策略，但双方都抵赖（协调）是更好的选择。协调能够使囚徒获得最大化的收益。解决囚徒困境的方法之一是无限重复博弈。参与人通过将来的行动来奖励合作和惩罚不合作。另一种方式是缔结合约（协调）。双方可以签订一份合同，如果一方违约，他将支付罚金或接受其他某种方式的惩罚。但这要依赖于能够强制执行这种合同的法律体制的存在。3、保证博弈类似囚徒困境，例如美国和苏联之间的军备竞赛。两个国家都可以选择生产核导弹，

7、也可以选择都不生产。其收益矩阵如下图。该图显示：存在两个纳什均衡（不生产，不生产）和（生产，生产）。但是，（不生产，不生产）对双方都是一个较好的选择。美国苏联不生产生产不生产生产4，41，33，12，2但问题在于，任何一方都不知道对方将会做出的选择。在承诺不生产以前，每一方都想得到对方不会生产的保证。获得这种保证的方法之一是其中一方先采取行动，并接受公开的检查。这可以是一种单边的行动，但他一定要让对方相信自己的选择。类似：战国时期，皇太子做人质。4、斗鸡博弈即电影中的汽车博弈：两个年轻人分别从一条街的两头，驾车笔直地是

8、向对方。第一个转向的人会颜面尽失，但如果没有人转向，将会撞在一起。其收益矩阵如下图：存在两个纳什均衡：（不转向，转向）和（转向，不转向）。A偏好第一个，B偏好第二个。但这两个都比撞车好。它和保证博弈有所区别，双方做不相同的事情比做相同的事情好。年轻人A年轻人B转向不转向转向不转向0，0-1，11，1-2，-2在这个博弈中，每个参与