2017学年九年级数学下册3.2直棱柱、圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图问题素材（新版）湘教版

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1、圆锥的侧面展开图问题图1解决圆锥问题的关键是明确圆锥的侧面展开图各元素与圆锥各元素的关系——圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面圆的周长．问题往往涉及圆锥的母线长、圆锥的高以及底面半径之间的关系，勾股定理则是架起三元素间的桥梁．如图1，设圆锥的底面半径为r，母线AB的长为l，高为h，则r2+h2=l2，圆锥的侧面展开图是扇形ACD，该扇形的半径为l，设扇形ACD的圆心角是θ，则扇形的弧CD的长=2πr=，圆锥的侧面积为S侧=×2πr×l=πrl．图2一、计算圆锥的侧面积例1（邵阳）如图2所示的圆锥主视图是一个等

2、边三角形，边长为2，则这外圆锥的侧面积为______（结果保留π）．分析：依题意，圆锥主视图是一个等边三角形，所以圆锥的母线长为2，底面半径为1，可以直接代入公式求得．解：依题意，r=1，l=2，所以S侧=π×1×2=2π．二、求圆锥的母线长例2（桂林）已知圆锥的侧面积为8πcm2,　侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的母线长为（　　）．（A）64cm（B）8cm　　　（C）cm（D）cm分析：圆锥的侧面积即其侧面展开图扇形的面积，由扇形的面积公式可求出圆锥的母线长（侧面展开图扇形的半径即为圆锥的母线长）．解：由，即＝8π，解得l＝8（

3、cm）．故应选（B）．三、计算圆锥的底面半径例3（日照）将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（）．（A）10cm（B）30cm（C）40cm（D）300cm分析：依题意，将直径为60cm的圆形铁皮分割成三个大小相等的扇形，这三个扇形即三个相同的圆锥容器的侧面展开图．根据“侧面展开图扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长”可求每个圆锥容器的底面半径．解：直径为60cm的圆形铁皮的周长为60πcm，故将该铁皮分割成三个大小相等的扇形的弧长为20πcm．设圆锥的底面半

4、径为r，则2πr＝20π，解得r＝10．故应选（A）．四、计算圆锥的高OBAB图35cm例4（鸡西）如图3，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么围成的圆锥的高度是cm．分析：借助图1分析，知在r2+h2=l2中，欲求h，需知道r，l，显然这里l＝5cm，故只需再求出r．解：设圆锥的底面半径为r，则2πr＝6π，解得r＝3．所以h2=l2－r2＝52－32，所以h＝4（cm）．五、计算侧面展开图中扇形圆心角的度数例5（成都）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的

5、圆心角的度数是（）．（A）40°（B）80°（C）120°（D）150°分析：设圆锥展开图的圆心角为n°，根据弧长公式可求出侧面展开图扇形的弧长为，再根据“侧面展开图扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长”列方程可解．ＡＦＥＯ图4解：设圆锥展开图的圆心角为n°，则4π=．解得n＝120．所以选（C）．六、最短路径问题例6（青岛）如图4是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm．母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到A点．则此蚂蚁爬行的最短距离为

6、cm．图5分析：由于小蚂蚁只能在圆锥侧面上爬行，所以我们可考虑把圆锥侧面展开，将问题转化为平面图形解决.将圆锥沿母线OE剪开，如图7所示的展开图，根据“两点之间线段最短”，知EA即为最短路径．解：设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为n°，因为底面的周长等于展开后扇形的弧长，所以＝πEF，即＝10π，解得n°＝180°．此圆锥的侧面展开图为扇形（如图5），在Rt△AEO中，OA＝OF－AF＝8（cm），