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《问题4.1平面向量基本定理的应用问题（原卷版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2017阳爲三就醪烤越一凉钱橢品问题一平面向量基本定理的应用问题平面向量问题一直在高屮数学屮以数学工具的形式出现,它很好的体现了数学知识间的联系与迁移，具体到平面向量基本定理，又在向量这部分知识中占有重要地位，是向量坐标法的基础，是联系几何和代数的桥梁，本文从不同角度介绍定理的应用.一、利用平面向量基本定理表示未知向量平面向量基本定理的内容：如果石，云是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量N有且只有一对实数入仏使养九荷+入2石，平面内选定两个不共线向量为基底，可以表示平而内的任何一个向量.【
2、例1】如图，平面内有三个向量可，0B,况，其中刃与西的夹角为120。，刃与说的夹角为30。,且
3、OA
4、=2,
5、OB
6、=—,
7、OC
8、=2的，若OC=204+“OB(/l,“wR),则(2A.D283B.2=—t//=—32宀2,心c—3_4C.D.A=—,U——23【分析】平面向量基本定理实质上是“力的分解原理”，过点C分别作imOA^OB的平行线,分别耳直线05OA相交，利用向量加法的平行四边形法则和平血向量共线定理将说用【解析】设与鬲，衍同方向的单位向量分别为Nk依题意冇OC=^i+2b,又，•—*，♦3—♦
9、..♦zlOA=2a.OB=-b,^iOC=2OA+-OB,fi）i以2=2,“二一.故选C.33【点评】（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【小试牛刀】【2017届云南曲靖一中高三理上学期月考】在AABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且BD=2DC,CE=3EA,若AB=a,AC=b,则£)E=()1-Jr1-13T小1-
10、Jr1-1J7A.—abB.—abC.——dbD.——ab312312312312二、利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本泄理是向量坐标的理论基础，通过建立平面直角坐标系，将点用坐标表示，利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系，进而表示目标函数，转化为函数的最值问题.【例2】【2016届浙江省绍兴市一中高三9月回头考】已知向量刃,面满足
11、a4
12、=
13、OB
14、=l,OA丄丽，况=XO+“丽（入“疋/?）若M为AB的屮点，并且
15、mc
16、=i,则2+//的最大值是（）A.1—V3B.1+>/2C.y
17、/5D.14-a/3【分析】首先利用已知条件建立适当的直角堆标系，并写出点人B的坐标，然后运用向量的坐标运算计算出点c的坐标，再*
18、a7c
19、=1可得z所满足的等式关系即圆的方程，设/=将其代入上述圆的方程并消去“得到关于2的一元二次方程，最后运用判别式大于等于0即可得出所求的答案.【解析】因为向量al.oB^足oj=^b=i：oa_ob:所次将見b放入平面直角坐标系中:令11一一一•4（ie）“（（U）：又因为M为曲的中点所叹□（亍亍）.因为+刃:所以■*OC=WA+uOB=z（l50）+a（051）=（
20、入〃）：即点％.所以必=-,因为阿=1:所以+（“-$十卩点％“）在以（帯）为圆心」为半径的圆上.令2X+从则〃h-久:将其代入圆（7-护+（“一$=1的方程消去“得到关于z的一元二次方程：2/^-2?z+（r-r-
21、）=A=（2?）:_4x2（r：_r_^>0jg之得_4+iosd+i很“的最大值是1+d・故应选E.【点评】若题中有互相垂直的单位向量，大多可建立坐标系，转化为代数问题.【小试牛刀】【2017届河南南阳一-中高三理上学期月考】如图所示，A,B,C是圆O上不同的三点，线段CO的延长线与线段34交于
22、圆外的一点D,^OC=WA+/MB（Ae/?,//gR）,则2+“的取值范围是（）A.(0,1)B.(l,+oo)C.(-oo,-l)D.(—1,0)三、三点共线向量式三点共线问题.A,B,C三点共线等价于农与疋共线.设A,B,C是共线三点，0是平面内任意一点，则=+A)0C,其特征是、'起点一致，终点共线，系数和为1〃,利用向量式，可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值.【例3】如图所示,己知点G是AABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM=xAB,AN=yAC，则的值为.x+yA
23、【分析】g⑴在区I'可(一2,—1)内存在单调递减区间可转化为g(x)<0在区间(一2,—1)有解,2且不是唯一解，参变分离为a
