2019高中导数经典知识点及例题讲解

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1、高中导数经典知识点及例题讲解　　§变化率与导数变化率问题　　自学引导　　1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．　　2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率.课前热身　　Δy1.函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝________.　　ΔxΔy　　2．平均变化率另一种表示形式：设Δx＝x－x0，则＝________，表示函　　Δx数y＝f(x)从x0到x的平均变化率.　　答案fx2－fx11.x2－x0＋Δx－fx0Δx　　名师讲解　　1.如何理解Δx，Δy的含义　　Δx表示自变量x的改变量，即Δx＝x2－x1；Δy表示函数值的改变量，即Δy＝f(x2)－f(x1)．　

2、　2．求平均变化率的步骤　　求函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率．(1)先计算函数的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)计算自变量的增量Δx＝x2－x1.　　Δyfx2－fx1　　(3)得平均变化率＝.　　Δxx2－x1　　对平均变化率的认识　　函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y＝sinx在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在　　π　　sin－sin0　　2π2　　[0，]上的平均变化率为＝.　　2ππ　　－02　　在平均变化率的意义中，f(x2)－f(x1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx＝x2－x1≠0.　

3、　1　　典例剖析　　题型一求函数的平均变化率　　例1一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；　　(2)求t＝0到t＝1的平均速度．　　分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)　　ΔS－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商就可以得到平均速度．　　ΔtS3t－t2　　解(1)于v＝＝＝3－t.　　tt∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2Δt＝1－0＝1　　ΔS2　　∴v＝＝＝2.　　Δt1　　∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.　　误区警示本题1不要认为t＝0时，

4、S＝0.所以初速度是零.　　变式训练1已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点　　Δy(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝()　　ΔxA．3　　B．3Δx－(Δx)2C．3－(Δx)2　　D．3－Δx　　解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx.　　Δy－Δx2＋3Δx∴＝＝－Δx＋3ΔxΔx答案D　　题型二平均变化率的快慢比较　　πππ　　例2求正弦函数y＝sinx在0到之间及到之间的平均变化率．并比　　632　　较大小．　　分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．　　π　　解设

5、y＝sinx在0到之间的变化率为k1，则　　6　　2　　π　　－sin063　　k1＝＝.ππ－06　　ππ　　y＝sinx在到之间的平均变化率为k2。　　32　　sinsin　　则k2＝　　ππ3－sin1－23232－3　　＝＝.ππππ－236　　332－333－1　　∵k1－k2＝－＝>0。　　πππ　　∴k1>k2.　　π3ππ　　答：函数y＝sinx在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变6π3232－3332－3　　化率为，且>.πππ　　变式训练2试比较余弦函数y＝cosx在0到化率的大小．　　π　　cos3－cos0　　π　　解设函数y＝cosx在0到3之间的平均变化

6、率是k1，则k1＝π＝－3－032π.　　ππ　　函数y＝cosx在3到2之间的平均变化率是k2，　　ππ－cos233　　则k2＝＝－.　　πππ－23333　　∵k1－k2＝－－(－)＝>0。　　2ππ2π　　∴k1>k2.　　πππ　　∴函数y＝cosx在0到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化　　332　　率．　　题型三平均变化率的应用　　例3已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．　　cos　　πππ　　之间和到之间的平均变332　　3　　Δs分析物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→Δt解物体在t＝1到t＝1＋Δt这

7、段时间内的位移增量Δs＝s(1＋Δt)－s(1)　　＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt)2＋4Δt.　　物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为　　2　　ΔsΔt＋4Δt　　＝4＋Δt.　　Δt＝Δt　　变式训练3一质点作匀速直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．　　解质点在[2,2＋Δt]上的平均