高中导数经典知识点及例题讲解

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1、§1.1　变化率与导数1.1.1　变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率.课前热身1.函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝________.2．平均变化率另一种表示形式：设Δx＝x－x0，则＝________，表示函数y＝f(x)从x0到x的平均变化率.名师讲解1.如何理解Δx，Δy的含义Δx表示自变量x的改变量，即Δx＝x2－x1；Δy表示函数值的改变量，即Δy＝f(x2)－f(x1)．2．求平均变化率的步骤求函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率．(1)先

2、计算函数的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)计算自变量的增量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率＝.对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y＝sinx在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，]上的平均变化率为＝.在平均变化率的意义中，f(x2)－f(x1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx＝x2－x1≠0.24题型一　求函数的平均变化率例1　一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求t＝0到t＝1的平均速度．分析　t＝

3、0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商就可以得到平均速度．解　(1)由于v＝＝＝3－t.∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2Δt＝1－0＝1∴＝＝＝2.∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.误区警示　本题(1)不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.变式训练1　已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝(　　)A．3　　　　　　　B．3Δx－(Δx)2C．3－(Δx)2D

4、．3－Δx解析　Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx.∴＝＝－Δx＋3答案　D题型二　平均变化率的快慢比较例2　求正弦函数y＝sinx在0到之间及到之间的平均变化率．并比较大小．分析　用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．解　设y＝sinx在0到之间的变化率为k1，则24k1＝＝.y＝sinx在到之间的平均变化率为k2，则k2＝＝＝.∵k1－k2＝－＝>0，∴k1>k2.答：函数y＝sinx在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，且>.变式训练2　试

5、比较余弦函数y＝cosx在0到之间和到之间的平均变化率的大小．解　设函数y＝cosx在0到之间的平均变化率是k1，则k1＝＝－.函数y＝cosx在到之间的平均变化率是k2，则k2＝＝－.∵k1－k2＝－－(－)＝>0，∴k1>k2.∴函数y＝cosx在0到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率．题型三　平均变化率的应用例3　已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．24分析　由物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→解　物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量Δs＝s(1＋Δt)－s

6、(1)＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt)2＋4Δt.物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为＝＝4＋Δt.变式训练3　一质点作匀速直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．解　质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为＝＝＝＝4＋Δt.又≤5，∴4＋Δt≤5.∴Δt≤1，又Δt>0，∴Δt的取值范围为(0,1].§1.1　函数的单调性与极值1.1.2　导数的概念1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建

7、立的一些实际背景．2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数f(x)在某一点x0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x0处的导数.241.瞬时速度．设物体的运动方程为S＝S(t)，如果一个物体在时刻t0时位于S(t0)，在时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位置增量是ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0)．那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比，就是这段时间内物体的________，即＝.当这段时间很短，即Δt很小时，这个平均速度就接近时刻t0的速度．Δt越小，就越接近于时刻t0的速度，当Δt→0时，这个平均速度的极限

8、v＝＝就是物体在时刻t0的速度即为________．2．导数的概念．设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近0时，