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1、《高考数学总复习系列》——高中数学选修2-2第一章导数及其应用一、基础知识【理解去记】1.极限定义：(1)若数列心｝满足，对任意给定的正数£，总存在正数H1,当n>m且nUN吋，恒有un-A<£成立(A为常数)，则称A为数列Un当n趋向于无穷大时的极限，记为lim/(x),lim/(兀)，另外-t—>-<»limf(x)=K表示x大于x。且趋向于x。时f(x)极限为A,称右极限。类似地lim/(劝表示x小于x。且趋向于xo时f(x)的左极限。2•极限的四则运算:如果limf(x)=a,limg(x)=b,那么lim[f(x)±g(x)]=a.±b,l
2、im[f(x)•g(x)]=ab,则称f(x)在X二Xo处连3•连续：如果函数f(x)在x=xo处有定义,且limf(x)存在,并且limf(x)=f(x0),续。4.最大值最小值定理：如果f(x)是闭区'可g,b］上的连续函数，那么f(x)在［a,b］上有最大值和最小值。5.导数：若函数f(x)在xO附近有定义，当自变量x在x()处取得一个增量Ax吋(Ax充分小),因变量y也随之取得增量Ay(Ay=f(xo+Ax)-f(Xo)).若lim存在，则称f(x)在X。处可导,此极限值称为f(x)山TO心在点X。处的导数(或变化率)，兀o或字ax即f(兀0
3、)=lim/(x)7CUoXTXjjX—X()由定义知f(x)在点X。连续是f(x)在X。可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是:f(x)在点x。处导数f(X。)等于曲线y=f(x)在点p(xo,f(Xo))处切线的斜率。6.【必背】八大常用函数白(1)(少二0(c为常数)；勺导数:(2)(xay=OXa-{(a为任意常数)；(3)(sinx)‘=cosx;(4)(cosx)‘=-sinx;⑸(axy=axIna;(7)(10g“Q=^10g“兀;(8)(lnx)'=—.兀7.导数的运算法则
4、：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)HO,贝！(1)［u(x)±v(x)］'=ux)±V(X)；(2)［u(x)v(x)］'=w(x)v(x)+u(x)v'(x)；(3)［cu(x)］'=c-u'(x)(c为常数)；(4)［丄r獰；(5)［型r=心)心)7(小⑴。u(x)w~(%)u(x)u~(^)8.減必会】复合函数求导法:设函数y二f(u),u二。(x),已知0(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=0(x))处可导，则复合函数y二f［0(x)］在点x处可导，且(f［0(x)1)'二广［0(创0(兀).9.导数与函数的性质：单调性：
5、(1)若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；(2)若对一切xe(a,b)有广(兀)>0,则f(x)在(a,b)单调递增；(3)若对一切xe(a,b)有f(兀)V0,则f(x)在(a,b)单调递减。10.极值的必要条件：若函数f(x)在x°处可导，且在x°处取得极值，则/,(xo)=O.11•极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在xo邻域(xo-S,xo+S)内可导，(1)若当xe(x-8,xo)时广(兀)S0,当xU(xo,x0+§)时fx)>0,则f(x)在xo处取得极小值；(2)若当xe(xo-§,xo)吋/'(x)>0,当x
6、e(xo,xo+5)时广(兀)SO,则f(x)在xo处取得极大值。12.极值的第二充分条件：设f(x)在X。的某领域(xo-§,xo+5)内一阶可导，在x=x。处二阶可导，且广(兀°)=0,广Qo)HO。(1)若厂(兀。)>0,则f(x)在X。处取得极小值;(2)若广'(兀°)VO,则f(x)在X。处取得极大值。13.【了解】罗尔中值定理:若函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b),则存在Ce(a,b),使广©=0・［证明］若当x(a,b),f(x)=f(a),则对任意xW(a,b),=0.若当xe(a,b)时，f(x
7、)Hf(a),因为f(x)在［a,b］上连续，所以f(x)在［a,b］上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a),不妨设最大值m>f(a)且f(c)二m,则cE(a,b),且f(c)为最大值，故fc)=0,综上得证。二、基础例题【必会】1.极限的求法。(2nan例1求下列极限：(1)lim—+—+•••+—:(2)lim(a>0):(3)J“T8Ja"/、lim/++••■+〒；(4)limV^(J〃+l-徧)•f厶2+］厶2+2V/12+77)宀[解](1)lim〃T812n11F2282h2(2)当QI时
8、，limanlim"T8n+1lim&丿HT8UJ110n+1当0〈以1时，limanlima"〃T8“To
