空间向量及其运算共线向量和共面向量

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1、空间向量及其运算要点梳理1．空间共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量为共线向量或平行向量．(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充a＝λb要条件是存在实数λ使.（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb。laPBA推论：如果l为经过已知点A且平O行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAta①其中向量a叫做直线l的方向向量。

2、OPOAtABOP(1t)OAtOB②①或②式都叫做空间直线的向量参数方程4．共面向量（1）概念：已知平面α与a向量，作OAa，如果直线OA平行于平面α或在α内，那么我们说向量a平行于平面α，记作a∥α。通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：⑴空间任意两个向量总是共面的；⑵空间任意三个向量不一定共面；⑶空间四边形ABCD中AD、AC、AB不共面。OAaaα（2）共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充

3、要条件是，存在实数对x、y，使p=xa+yb推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使MP=xMA+yMB或对空间任一点O，有OP=OM+xMA+yMB①平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表达式。[思考探究]向量AB∥平面α与直线AB∥平面α是同一概念吗？提示：不是．向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面或在平面内两种情况．因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内．3．空间向量

4、基本定理(1)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任意一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋.zc(2)推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P都存xOA＋yOB＋zOC在唯一的有序实数组x，y，z，使OP＝.概念巩固1.下列命题中正确的有：B(1)pxaybp与a、b共面;a与b不共线(2)p与a、b共面pxayb；a与b不共线(3)MPxMAyMBP、M、A、B共面；

5、(4)P、M、A、B共面MPxMAyMB；A.1个B.2个C.3个D.4个2.对于空间中的三个向量MA、MB、2MA－MB它们一定是：AA.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线又不共面向量3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任11意一点O，OMxOA＋OB＋OC,则x33的值为：D1A.1B.0C.3D.34.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？212(1)OPOA

6、OBOC;555(2)OP2OA2OBOC；题型一空间向量的线性运算探究1解（1）∵P是C1D1的中点，1APAAADDPaADDC111111211acABacb.22(2)N是BC的中点,ANAAABBN111abBC211abADabc.22(3)M是AA的中点,11MPMAAPAAAP121111a(acb)abc,22221又NCNCCCBCAA111211ADAAca122111M

7、PNC(abc)(ac)1222313abc.222用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.题型二平行和垂直求证：面PAC⊥面PCD；解：(1)证明：设PA＝1，由题意PA＝BC＝1，AD＝2.∵PA⊥面ABCD，∴PB与面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.2分∴

8、AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90°，又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥面PAC，CD⊂面PCD，∴面PAC⊥面PCD.6分例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各