09初中数学竞赛试题与答案

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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a，b满足，则等于（）．（A）－1（B）0（C）1（D）2【答】C．解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1．2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC

2、＝OD＝1，则a等于（）．（第2题）（A）（B）（C）1（D）2【答】A．解：因为△BOC∽△ABC，所以，即，所以，．由，解得．3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）．（A）（B）（C）（D）【答】D．解：当时，方程组无解．当时，方程组的解为由已知，得即或由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得共有5×2＝10种情况；或共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共

3、6×6＝36种情况，故所求的概率为．4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，.动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）．（A）10（B）16（C）18（D）32（第4题）图2图1【答】B．解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故S△ABC＝×8×4＝16.5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）．（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多

4、组【答】C．解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为．由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．由≥，解得≤．于是01491611610988534显然，只有时，是完全平方数，符合要求．当时，原方程为，此时；当y＝－4时，原方程为，此时．所以，原方程的整数解为二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行

5、车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有两式相加，得，则．7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值

6、为．解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．由题设知，，在△FHA和△EFA中，，所以Rt△FHA∽Rt△EFA，.（第7题）而，所以.8．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为．【答】10．解：因为，且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数．又因为，所以．由，可得．9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．【答】．解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．故由勾股

7、定理逆定理知△ACB为直角三角形，且．作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以，（第9题）即，解得．所以．（第10题）10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】．解：设报3的人心里想的数是，则报5的人心里想的数应是．于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人

8、心里想的数是，报3的人心里想的数是．所以，解得．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线与动直线有公共点，，且.（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.解：（1）联立与，消去y得二次方程①有实数根，，则．所以=＝．②………………5分把②式代入方程①得．③………………10分t的取值应满足≥0，④且使方程③有实数根，即＝≥0，⑤解不等式④得≤-3或≥1，解不等式⑤得≤≤.所以，t的取值范围为≤≤.⑥………………15分(2)由②式知.由于在≤≤时