2009初中数学竞赛试题与答案.doc

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1、2009年全国初中数学联合竞赛试题与解答第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.设,则()A.24.B.25.C..D..2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC=()A..B..C..D..3.用表示不大于的最大整数,则方程的解的个数为()A.1.B.2.C.3.D.4.4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为()A..B..C..D..5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩

2、形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则CBE=()A..B..C..D..6.设是大于1909的正整数,使得为完全平方数的的个数是()A.3.B.4.C.5.D.6.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.已知是实数,若是关于的一元二次方程的两个非负实根,则的最小值是____________.2.设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为和,则四边形DECF的面积为______.3.如果实数满足条件,,则______.4.已知是正整数,且满足是整数

3、,则这样的有序数对共有_____对.7第二试(A)一.(本题满分20分)已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B,与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.(1)证明:⊙P与轴的另一个交点为定点.(2)如果AB恰好为⊙P的直径且,求和的值.二.(本题满分25分)设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,、分别是△ADC、△BDC的内心,AC=3,BC=4,求.三.(本题满分25分)已知为正数,满足如下两个条件:①②证明:以为三边长可构成一个直角三角形.7第二试(B)一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.二.(

4、本题满分25分)已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证:EF∥AB.三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.第二试(C)一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.二.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第二题相同.三.(本题满分25分)已知为正数,满足如下两个条件:①②是否存在以为三边长的三角形?如果存在,求出三角形的最大内角.参考答案第一试一、选择题1、A2、C3、C4、B71、D2、B一、填空题1

5、、2、3、4、7第二试(A)二.(本题满分25分)解:(1)易求得点的坐标为,设,,则,.设⊙P与轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×OB=OC×OD,则.因为,所以点在轴的负半轴上,从而点D在轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).(2)因为AB⊥CD,如果AB恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点的坐标为,即.又,所以,解得.二.(本题满分25分)解:作E⊥AB于E,F⊥AB于F.在直角三角形ABC中,AC=3,BC=4,.又CD⊥AB,由射影定理可得,故,.因

6、为E为直角三角形ACD的内切圆的半径,所以=.连接D、D,则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线,所以∠DC=∠DA=∠DC=∠DB=45°,故∠D=90°,所以D⊥D,.7同理,可求得,.所以=.三.(本题满分25分)证法1将①②两式相乘,得,即,即,即,即,即,即,即,即,所以或或,即或或.因此,以为三边长可构成一个直角三角形.证法2结合①式,由②式可得,变形,得③又由①式得,即,代入③式,得,即.,所以或或.结合①式可得或或.因此,以为三边长可构成一个直角三角形.第二试(B)二.(本题满分25分)解因为BN是∠ABC的平分

7、线,所以.又因为CH⊥AB,所以7,因此.又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以,因此C、F、H、B四点共圆.又,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.同理可证,点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH,所以EF∥AB.三.(本题满分25分)解法1将①②两式相乘,得,即,即,即,即,即,即,即,即,所以或或,即或或.因此,以为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90°.解法2结合①式,由②式可得,变形,得③又由①式得,即,代入③式,得,即.,所以或或.结合①式可得或或.因此,以为三边长可构成一个直角三角形,它的最

8、大内角为90°.77

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