资源描述：
《“待定系数法”解递推数列》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、“待定系数法”解递推数列求递推数列的通项，是高考数列综合题最为常见的考查内容虽然试题立意“试验——猜测——证明”的思想，但抽彖推演的方法，也可能有很好的通性，而且更为简捷，本文推介的就是这样-•种方法，不妨统称为“待定系数法雹始作俑者：an+i=b-an+c若b=l,则数列｛aj是等差数列;若c=0,锻),则数列心补是等比数列;若舜0,b^l,b#)时呢？设常数k是c分解所得,且满足an+I-k=b-(an-k),则易得"口,故0一口｝成等差数列。例1已知®二-+5(/?12)2“2z,求色dI—k=(d—k)解：设2,则
2、由已知得k=2,即｛an-2｝成等比数列。2拓展1：an+l=b-an4-c(n)当数列｛c(n)｝成等比数列时。若b=l,则an+I-an=c(n),这实质上成为“泛等差"数列，因此用“累加相消法"即可解决，即Hn=(an-an-
3、)+(4、-Hn-2)+-..+(32~3])+aj.那么b壬1,且b#0时呢?事实上，｛c(n)｝是等差数列oC(n)=pn+q,故c(n)也可以像c一样分解：设a=丄,B’—qb—pban-(An+B)=b｛an.1-[A(n-l)+B]｝,贝I」l~b(】")，-ft｛an-(An
5、+B)｝成等比数列。q=2，色=3色+2n一1(/1>2)例2已知2，求a..解：设an-(An+B)=3｛and-｛A(n-1)+B]｝,则a„=3an.i-4An+3A-4B,故2n-l=-4An+3A-4B对n>2恒成立。A=—,B=—,｛a—nH—｝得28故28成等比数列。当数列｛c(n)｝成等比数列时。由于｛c(n)｝是等比数列oc(n)=pqn,且b是常数，故c(n)—定可像c一样分解：A=^,B=q设an-A«Bn=b-(an.rA-Bn-1),贝U~P，且｛an-A-Bn｝成等比数列。例3已知ai=-l,a
6、n=3an.i+2n(n>2),求an.解：设an-A.Bn=3-(an.i-A-Bn-'),则an=3an-14-A(B-3)-Bn4,故2n=A(B-3)-Bn_1对心2恒成立,得A=-l,B=2,^｛an+2n｝成等比数列。3拓展2：an+i=b(n)-an+c(n)这种结构的递推式，情况要稍复杂一些，“待定系数法”常需结合配凑法进行。例4已知xi=2,(1+2n+1)-xn+1=xn+2n+1(1+2n)+2,求xn.解:注意到各系数特征,可设(1)•{xn+1-[A(n+1)+B]}=x„-(An+B),则{(1
7、+2n+1)[A(n+1)+B]}-(An+B)=2n+1•(1+2n)+2对n恒成立。易得A=2,B=-l.故{Xn・(2ml)}成“泛等比”数列，可“累乘相约”,设an=x„-(2n-l),即cin_xan_2aA4可化归为以上类型的数列4.1高次型：色二风")^："若c=l,则可视为“泛等比”数列,“累乘相约”即可。若C>1,则关键是降次，取对数，化简得1的严clgQ,i+lg如)，用待定系数法可解。]2例5已知ai=4,n>2时，一勺-】,求an.b•+°dq_i+«解:显然an>0,故两边取对数得lgan=21g
8、an-l+(n-l),设bn=lgan-l则bn=2bn-i+(n-l),这就化归到“拓展1"的成等差数列的情形。若c=0,则="%1=j1+〃{1}fe,取倒数得©b^_10b,即转化为求%的通项。4.2分式型:an=——例6已知ai=l,nN2时，3a^+2,求丄=2•丄+3仇=丄_解：取倒数得色⑺，设仏则仇=2・乩+3,即归结为求{bj的通项。若c#0,则可设常数k、m满足：dq_+"，转为求an-K的通项。陽-】+2例7已知ai=l,n>2时，％”_】+〈求an-解：设3°心+2,则a=m・(Q“_i一切+p=O+
9、3幻％_]+(2-m)k53d—+23an=l+2(m+3k)an_x+(2-m)k_an_l+2故X=1+23an-i+2对n恒成立，k=—,iti=—1得m+3k=l且(2・m)k=2,即k=-l,m=4(或3),^+1=4^+1)有3%+2,设bn=an+l,则"彳爲-1,归结为上面的情形。4.3含Sn型：F(a„,Sn)=0若Sn结构简单，则消去Sn归纳为递推式f(an,3.0=0,再归结为上述类型解决。例8已知Sn=2an4-(-l)n,n^N,求an.解：an+l=Sn+]・Sn=[2q”+]+(-l)n+l]
10、-[2afl+(-1门=2a“+]—2a”一2・(一1)"即得an+I=2an-2«(-l)n,故归纳为“拓展『冲的例2的情形。若Sn相对复杂，则反消如归结为递推式f(Sn,Sn」)=0,再归结为上述类型解决。例9已知2S；=2吋S“-J+2,且nwN,求如.解:当n>2时,an=Sn-Sn.l,故盅=
