2018年奥林匹克数学竞赛第13讲因式分解及其应用

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1、奥林匹克数学竞赛第13讲因式分解及其应用考点•方法•破译1.因式分解的定义：把一个多项式化成儿个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；2.因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；3.因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；4.竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待定系数法等方法、另外形如X+E+q的多项式，当p=a+b,q=ab吋可分解为Cx+a)(兀+b)的形式；5.利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.经典•考题•赏析【例1】⑴若F+g+9

2、尸是完全平方式，贝必=⑵若x2-5xy+ky2是完全平方式，则k=【解法指导】形如的形式的式子，叫做完全平方式.其特点如下：⑴有三项；⑵有两项是平方和的形式；⑶还有一项是乘积的2倍，符号白由.解：⑴x2+如+9_v2=x24-kxy+(3)F是完全平方式，kxy=±6xy£=±6;⑵x2-5xy+ky2=x2-2•x•4-ky2是完全平方式,ky2=(-

3、y)2••^=~【变式题组】01-若診f”+9卅是一个完全平方式，则A——02.若#+护-6大+10『+34=0,求兀、y的值.03.若a2+a2b2-4ab+Z?2+I=0»求d、b的值.04.(四川省初二联赛试题)已知a、b、c满足

4、

5、2a-4

6、+

7、b+2

8、+拒匚+R+

9、a—Z?—1)【变式题组】(i)3%y_6疋护+12”尸(2)2a(x2+l)2-2ax~(3)20R加-45知2✓⑷49(a-b)2-16(b+a)2(5)(a2-5)24-8(5-tz2)+16【例3］要使二次三项式在实数范围内能进行因式分解，那么整数P的取值可能有(A.2个4个)C.6个D.无数多个【解法指导】由x2+(a+b)x+db=(x+a)(x+b)可知，在整数范围内分解因式x2-5x+p,p为“(5-n)的积为整数，・・・〃有无数多个，因而选D【变式题组】(1)已知/+心_

10、2能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是()A.2个B.4个C.6个D8个

11、⑵在1〜100间，若存在整数弘使疋+―”能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n有—个【例4】分解因式：(1)2宀(2)at-4/-z2+4yz(3)(x2+5x+2)(x2+5x+3)-12(4)x2+号—6y2+x+13y—6【解法指导】■llx+122/-3解：(1)A2x2-llx+12=(2x-3)U-4)(2)F-4y2-z2+4v2=)?一(4)2-4yz+z2)=x2-Qy-z)2I74=(x+2y-z)(x-2y+z)⑶设x2+5x+2=5,则原式可变为r(r+l)-12=r2+r-12=(r-3)(r+4)••原工弋=(x2+5x+2—3)(x2+5x+2+4

12、)=(/+5兀一1)(F+5兀+6)=(F+5x-l)(x+2)(x+3)⑷F+小一6才+x+13y-6=(x2+xy-6y2)+(x+13y)一6=(x-2y)(x+3y)+(x+13y)一6(x-2y)y3(x+3))/^—2=(x—2y+3)(x+3y—2)【变式题组】01.分解因式：(l)x2-Ay2-9z2-12yz(2)4x2-4x-y2+4y-3(3)ab一2a—3b+6(4)(x+l)(x+2)(兀+3)(兀+4)+1⑸6v2-19y+10【例5】⑴(上海竞赛试题)求方程6xy+4x-9y-7=0的整数解；⑵(希望杯)设x、y为正整数，且F+y2+4)，-96=0,求兀

13、y的值【解法指导】⑴结合方程的特点対其因式分解，将不定方程转化为方程组求解；⑵将等式左边适当变形后进行配方，利用X、为正整数的特点，结合不等式求解.解:(l)6xy+4x-9y-7=0>(6xy+4x)-(9y+6)=1>2x(3y+2)-3(3y+2)=1，/.(2x-3)(3y+2)=l,Sy都是整数二席；號;或懈證詔(2)F+y2+4y_96=(),y24-4v+4=l(X)-x2,0+2)2=10()-X2,・.・100-兀