2018年奥林匹克数学竞赛第16讲分式方程及其应用

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1、奥林匹克数学竞赛第16讲分式方程及其应用考点•方法•破译1.分式方程（组）的解法解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理•如分式屮分子（整式）的次数高于等于分母（整式）的次数吋，可利用分拆思想，把分式化为“整式+分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子（或分母）相等的分式，再利用分母（或分子）相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.2.分式方程增根在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母（化为整式方程），这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增

2、根.因此，解分式方程吋一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围（解是正数，或解是负数）时，要注意剔除正数解或负数解中的增根（因为增根不是分式方程的根）.3.列分式方程解应用题列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的力法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.经典・考题・赏析【例1】解下列方程：(l)x~2-x+2=1x-4⑵1-x+24x22一7一=44—jTx-2⑶口+口=口+口x-5x-9兀一8x-6【解法指导】对于方程⑴、⑵只需先将分母分解因式，找到最简公分母，然后将分式方程转化为整式方程，求解并验根.对于方程⑶如果

3、按常规方法去分母则计算复杂，若注意到X—4X—5+11将这四个分式的分母均比分子小这个特点，先化简，如一=—=1+——,按照x—5x—5x—5上述变形，原方程可变为丄+丄=丄+丄再移项后分组通分求解较简单.x-5x-9x-8x-6解:⑴㈡-——等——=1x+2(兀一2)(兀+2)2(无一2)〜一16=9+2)(x—2)x2~4x+4—16=x2~4x=—2当x=—2时(x+2)(x—2)=0,.•・兀=—2是增根，原分式方程无解.+—(x+2)(x—2)2=4x—2兀一2+4<—2(兀+2)=4(x+2)(x-2)HO当x=10时，(x+2)(x-2)HO,・・・原分式方程的解为x=10

4、.⑶原方程变形为兰土+3乜=口也+土空x-5x-9x-8x-6,1,1,1,1x—5x—9x—8x—6x—5x-9x-8x—61111x-5x-6x-8x-9两边分别通分得:_1__1（兀一5）（兀一6）（兀_8）（兀_9）/•(%—5)(X—6)=(x—8)(%—9)・・・兀=7检验知x=7是原方程的解.【变式题组】—Xx-21-22-xx—4x~3x—24X~14xx2-2ni23【例2】当〃7为何值时，分式方程旦一丄=二^会产生增根？X+1%—1x~—1只要把猜测使原方程产【解法指导】我们很容易测出分式方程可能产生的增根是X=1或X=-l,的增根分别代入去分母后的整式方程，即可求

5、出相应的字母的值.解:原方程去分母并整理得（m-2）X=5+m假设产生增根x=l,则有：加一2=5+加，方程无解，所以不存在加的值,生增根兀=1；3假设产生增根x=—,则有:2—加=5+加，解得m=——.23m23••.///=--时，分式方程上一一亠=罕一产生增根・2x+1x-lx2-1【变式题组】01.分式方程兰三一出=丿乞的增根是x+2x-2x2-402.若分式方程——$——一上-=1有增根，则它的增根为（）（x+l）（x-l）x-11.0B.1C.-1D.1,-12rn03.（绥化）若关于x的方程亠=1-且无解•则加的值为・x—3x—3jti2304.分式方程旦一丄无解，则加的

6、值为.尢+1x—1f—2【例3】（杭州）已知关于兀的方程土伫=3的解是正数，则加的取值范围是兀—2【解法指导】求出方程的解x>0且好2即可M：—-~=32x+tn=3x—6x=ni+6x—2.*.777>—6且〃7工一4【变式题组】01.（孝感）关于兀的方程ZX=1的解是正数，则Q的取值范围是（）x-A.a>~B.a>-,且毋0C.a<~D.a<~,且狞一2777YY—102・当加为何值时，关于兀的方程一=亠一-—的解是正数？x—x—2.x+1x—2,【例4】（山东青岛）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用680

7、00元购进笫二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.⑴该商场两次共购进这种运动服多少套？⑵如杲这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%,那么每套售价至少是多少元？【解法指导】⑴设商场第一次购进兀套运动服，由题意得：68000_32000=1（）xx解这个方程，得x=200,经检验，x=200是原方程的解.2x+x=600・・・簡场两次共购进这种运动服600套.⑵设每套运动服的售价为y元