1997年全国高中数学联赛试题含答案 - 宜兴教育信息网

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1、1997年全国高中数学联合竞赛试卷(10月5日上午8:00-10:00)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{}满足(n≥2)，x1a，x2b，记Snx1＋x2＋L＋xn，则下列结论正确的是(A)x100＝－a，S100＝2b－a(B)x100＝－b，S100=2b－a(C)x100＝－b，S100＝b－a(D)x100＝－a，S100＝b－-a2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得，记其中表示EF与AC所成的角，表示EF与BD所成的角，则(A)在单调增加(B)在单调减少(C)在

2、(0，1)单调增加，而在(1，＋单调减少(D)在(0，＋)为常数3.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个4．在平面直角坐标系中，若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为(A)(0，1)(B)(1，＋(C)(0，5)(D)(5，＋5．设，a=arcsin，，则(A)(B)(C)(D)6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条二、填空题(每小

3、题9分，共54分)设x，y为实数，且满足，则x＋y=.过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得

4、AB

5、=的直线l恰有3条，则＝.已知复数z满足，则z的幅角主值范围是．已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形，SA＝SB＝SC＝2，AB＝2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青

6、蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．设a=lgz＋lg[x(yz)-1＋1]，b=lgx-1＋lg(xyz＋1)，c=lgy＋lg[(xyz)-1＋1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为．三、（本题满分20分）设x≥y≥z≥，且x＋y＋z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．四、(本题满分20分)设双曲线xy＝1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；(2)设P(-1，-1)在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的

7、坐标．五、(本题满分20分)设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足其中S为实数且

8、S

9、≤2．求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．1997年全国高中数学联赛答案一、选择题1.A2.Ｄ3.Ｃ4.Ｄ5.Ｂ6.Ｄ二、填空题题号123456答案24≤q≤kp+ 26lg2三、由已知得x=≤，sin(x-y)≥0，sin(y-z)≥0，于是，cosxsinycosz=cosx[sin(y+z)+sin(y-z)]≥cosxsin(y+z)=cos2x≥cos2=,且当x=,y=z=时

10、取等号．所以cosxsinycosz的最小值是,类似方法可得cosxsinycoszr的最大值是。四、(1)用反证法；（2）Q、R的坐标是(2-,2+),(2+,2-)五、令公比为q,可得a1(1+q+q2+q3+q4)=(1+q+q2+q3+q4)（1）若1+q+q2+q3+q4=0，则

11、q

12、=1,复数a1,a2,a3,a4,a5都在单位圆上。（2）若1+q+q2+q3+q4≠0,则a3=±2,x=q+满足方程x2+x+1=±.……,复数a1,a2,a3,a4,a5都在半径为2的圆上。