约束问题的最优化方法

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1、§4.1引言无约束优化方法是优化方法中最基本最核心的部分。但是，在工程实际中，优化问题大都是属于有约束的优化问题，即其设计变量的取值要受到一定的限制，用于求解约束优化问题最优解的方法称为约束优化方法。根据约束条件类型的不同可以分为三种，其数学模型分别如下：1、不等式约束优化问题（IP型）2、等式约束优化问题（EP型）3、一般约束优化问题（GP型）直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法间接解法：内点惩罚函数法、外点惩罚函数法、混合惩罚函数法约束优化问题解法分类：约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类

2、。二.直接解法：基本思想：合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式x(k+1)=x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足gu(x)0,u=1,2,…,p适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足F(xk+1)

3、凸集上的凸函数，则收敛到全局最优点；否则，结果与初始点有关。收敛条件：边界点的收敛条件应该符合K-T条件；内点的收敛条件为：目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。前提：一不能破坏约束问题的约束条件，二使它归结到原约束问题的同一最优解上去。惩罚函数法：通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解。惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效的间接解法。基本思想：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数Φ(x,r1,r2)，将约束优化问题转化为无约束优化问题。通过不断调整加

4、权因子，产生一系列Φ函数的极小点序列x(k)*(r1(k),r2(k))k=0,1,2…，逐渐收敛到原目标函数的约束最优解。三.间接解法：新目标函数：加权因子（即惩罚因子）：r1,r2无约束优化问题：Φ函数的极小点序列x(k)*(r1(k),r2(k))k=0,1,2…其收敛必须满足：其中和称为加权转化项，并根据它们在惩罚函数中的作用，分别称为障碍项和惩罚项。障碍项：当迭代点在可行域内时，在迭代过程中阻止迭代点越出边界。惩罚项：当迭代点在非可行域或不满足不等式约束条件时，在迭代过程之中迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面

5、。分类：根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。§4.2内点惩罚函数法（障碍函数法）一.基本思想：内点法将新目标函数Φ(x,r)构筑在可行域D内，随着惩罚因子r(k)的不断递减，生成一系列新目标函数Φ(xk,r(k))，在可行域内逐步迭代，产生的极值点xk*(

6、r(k))序列从可行域内部趋向原目标函数的约束最优点x*。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。二.惩罚函数的形式：其中：惩罚（加权）因子降低系数c：0

7、标函数的最优解xk*和Φ(xk,r(k))；4.判断是否收敛：运用终止准则①②若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为x*=xk*；若有一个准则不满足，则令并转入第3步，继续计算。四.几个参数的选择：2.惩罚因子初始值r(0)的选择：1.初始点x(0)的选择：要求：①在可行域内；②不要离约束边界太近。如太靠近某一约束边界，构造的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形，使求解无约束优化问题发生困难.方法：①人工估算，需要校核可行性；②计算机随机产生，也需校核可行性。惩罚因子的初值应适当，否则会影响迭代计算的正常进行。

8、一般而言，太大，将增加迭代次数；太小，会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。对于不同的问题，都要经过多次试算，才能决定一个适当r0。3.降低系数c的选择：在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为:式中的c称为惩罚因子的缩减系数，c为小于1的正数。一般的看法是，c