约束问题的最优化方法.pdf

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1、§4.1引言无约束优化方法是优化方法中最基本最核心的部分。但是，在工程实际中，优化问题大都是属于有约束的优化问题，即其设计变量的取值要受到一定的限制，用于求解约束优化问题最优解的方法称为约束优化方法。根据约束条件类型的不同可以分为三种，其数学模型分别如下：1、不等式约束优化问题（IP型）minF(x)nx∈D⊂Rs.t.gu(x)≥0,u=1,2,...,p2、等式约束优化问题（EP型）minF(x)nx∈D⊂Rs.t.hv(x)=0,v=1,2,...,q3、一般约束优化问题（GP型）minF(x)

2、nx∈D⊂Rs.t.gu(x)≥0,u=1,2,...,phv(x)=0,v=1,2,...,q一.约束优化问题解法分类：约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法间接解法：内点惩罚函数法、外点惩罚函数法、混合惩罚函数法二.直接解法：基本思想：合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式x(k+1)=x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。适用范围：只能求解不等式约束优化问题的最优解。基本要点：选取初始点、确定搜索方向及

3、适当步长。搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足gu(x)≥0,u=1,2,…,p适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足F(xk+1)

4、约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。前提：一不能破坏约束问题的约束条件，二使它归结到原约束问题的同一最优解上去。惩罚函数法：通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解。惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效的间接解法。基本思想：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数Φ(x,r1,r2)，将约束优化问题转化为无约束优化问题。通过不断调整加权因子，产生一系列Φ函数的极小点序列x(k)*(r1(k),r2(k))k=0,1,2…，逐渐收敛到原目标函数的约束最优解。mp新目标函

5、数：Φ(x,r,r)=f(x)+r1∑G[gu(x)]+r2∑H[hv(x)]12u=1v=1pM(k)(k)r∑H[h(x)]其中r∑G[g(x)]和v称为加权转化项，并根据它们在惩uv=1u=1罚函数中的作用，分别称为障碍项和惩罚项。障碍项：当迭代点在可行域内时，在迭代过程中阻止迭代点越出边界。惩罚项：当迭代点在非可行域或不满足不等式约束条件时，在迭代过程之中迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。加权因子（即惩罚因子）：r1,r2min.Φ(x,r,r)无约束优化问题：12Φ函数的极小点序列x*(r(k),r(k))k

6、=0,1,2…(k)12m其收敛必须满足：(k)(k)limr1∑G[gu(x)]=0k→∞u=1(k)limrH[h(x)]=02vk→∞(k)(k)(k)(k)lim[Φ(x,r,r)−f(x)]=012k→∞分类：根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。§

7、4.2内点惩罚函数法（障碍函数法）一.基本思想：内点法将新目标函数Φ(x,r)构筑在可行域D内，随着惩罚因子r(k)的不断递减，生成一系列新目标函数Φ(x,r(k))，在可k行域内逐步迭代，产生的极值点x*(r(k))序列从可行域内部趋向k原目标函数的约束最优点x*。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。二.惩罚函数的形式：m1(k)(k)①.Φ(x,r)=f(x)−r∑其中：g(x)≤0,u=1,2,...muu=1g(x)um1②.Φ(x,r(k))=f(x)+r(k)∑其中：g(x)≥0,u=1,2,...mu

8、u=1g(x)um(k)(k)1③.Φ(x,r)=f(x)−∑ruu=1gu(x)m(k)(k)1④.Φ(x,r)=f(x)+r∑2u=1[gu(x)]m(k)(k)⑤.Φ(x,r)=f(x)−r∑ln[−gu(x)]u=1其中：惩罚（加权）因子(0)(1)(k)(k−1)(k)r>r>....rr⋅c