线性代数方程组的数值解法ne

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1、第3章线性方程组的数值解法3.1引言与预备知识3.2高斯消去法3.3矩阵三角分解法3.4向量和矩阵的范数误差分析3.5迭代方法这一章讨论线性方程组3.1引言与预备知识的数值解法.在自然科学和工程技术中,很多问题归结为解线性方程组.例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限元方法解常微分方程、偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组，而这些方程组的系数矩阵大致分为两种，一种是低阶稠密矩阵(例如，阶数不超过150).另一种是大型稀疏矩阵(即矩阵阶数高且零元素较多).3.1.1引言有的问题的数学模型中虽不

2、直接表现为含线性方程组,但它的数值解法中将问题“离散化”或“线性化”为线性方程组.因此线性方程组的求解是数值分析课程中最基本的内容之一.关于线性方程组的解法一般有两大类：但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解.本章将阐述这类算法中最基本的和具有代表性的算法就是高斯消元法,以及它的某些变形和应用.这类方法是解低阶稠密矩阵方程组及某些大型稀疏矩阵方程组(例如，大型带状方程组)的有效方法.1.直接法经过有限次的算术运算,可以求得方程组的精确解(假定计算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到的克莱姆算法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是一种实

3、用的算法.就是用某种极限过程去逐步逼近方程组精确解的方法.迭代法具有计算机的存储单元较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但存在收敛条件和收敛速度问题.迭代法是解大型稀疏矩阵方程组(尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组)的重要方法.为了讨论线性方程组数值解法，需复习一些基本的矩阵代数知识.2.迭代法3.1.2向量和矩阵基本概念：用Rm×n表示全部m×n实矩阵的向量空间；用Cm×n表示全部m×n复矩阵的向量空间.(由数排成的矩阵表，称为m行n列矩阵).其中aj为A的第j列的m维列向量.同理(m维列向量).其中biT为A的第i行的n维行向量.矩阵的基本运算：(1)矩阵

4、加法(2)矩阵与标量的乘法(3)矩阵与矩阵的乘法(4)转置矩阵(5)单位矩阵其中(6)非奇异矩阵则称B是A的逆矩阵，记为A-1，且(A-1)T=(AT)-1.如果A-1存在，则A称为非奇异矩阵.如果A、B均为非奇异矩阵，则有(AB)-1=B-1A-1.(7)矩阵的行列式设A∈Rn×n，则A的行列式可按任一行(列)展开,其中Aij为aij的代数余子式，Aij=(-1)i+jMij，Mij为元素aij的余子式.行列式性质：定理1设A∈Rn×n，则下述命题等价：(1)对任何b∈Rn，方程组Ax=b有唯一解.(2)齐次方程组Ax=0只有唯一解零解x=0.(3)det(A)≠0.(4)A-1存在.

5、3.2高斯消去法本节介绍高斯消去法(逐次消去法)及消去法和矩阵三角分解之间的关系.虽然高斯消去法是一种古老的求解线性方程组的方法(早在公元前250年我国就掌握了解方程组的消去法)，但由它改进、变形得到的选主元素消去法、三角分解法仍然是目前计算机上常用的有效方法.我们在中学学过消去法,高斯消去法就是它的标准化的、适合在计算机上自动计算的一种方法.3.2.1高斯消去法设有线性方程组或写成矩阵形式简记为Ax=b.如:上三角矩阵所对应的线性方程组解为当m=n时，对三角形方程组的解非常容易，如例如:下三角矩阵所对应的线性方程组计算量（乘除法的主要部分）都为n2/2.解为因此，我们将一般的线性方程组

6、化成等价的三角形方程组来求解.首先举一个简单的例子来说明消去法的基本思想.例1用消去法解方程组解第1步，将方程(2.2)乘上-2加到方程(2.4)上去，消去(2.4)中的未知数x1，得到第2步，将方程(2.3)加到方程(2.5)上去，消去(2.5)中的未知数x2，得到与原方程组等价的三角形方程组显然，方程组是(2.6)是容易求解的，解为上述过程相当于对方程的增广阵做初等行变换其中ri用表示矩阵的第i行.由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消去未知数的方法把原方程组Ax=b化为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法求解.换句话说，上述过程就是用初等行变换将原方程组

7、系数矩阵化为简单形式(上三角矩阵)，从而求解原方程组(2.1)的问题转化为求解简单方程组的问题.或者说，对系数矩阵A施行一些行变换(用一些简单矩阵左乘A)将其约化为上三角矩阵.这就是高斯消去法.下面讨论求解一般线性方程组的高斯消去法.由将(2.1)记为A(1)x=b(1)，其中(1)第1步(k=1).设a11(1)0，首先计算乘数mi1=ai1(1)/a11(1)(i=2,3,…,m).用-mi1乘(2.1)的第一个方程，加到第i