直线平面垂直的判定及性质

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1、§8.5直线、平面垂直的判定及性质基础自测1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A2.若P是平面α外一点,则下列命题正确的是()A.过P只能作一条直线与平面α相交B.过P可作无数条直线与平面α垂直C.过P只能作一条直线与平面α平行D.过P可作无数条直线与平面α平行D3.（2009·广东理，5）给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

2、②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④D4.（2008·湖南文，5）已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则()A.n⊥βB.n∥β，或nβC.n⊥αD.n∥α,或nαD5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,

3、β⊥γ,则α∥β；③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.正确的命题是()A.①③B.②③C.①④D.②④C题型一直线与平面垂直的判定与性质如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.(1)因M为AB中点,只要证△ANB为等腰三角形,则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB.(2)已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC,易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN

4、⊥PC.题型分类深度剖析证明（1）连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边AB的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.(2)连接PM、CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M

5、为AB的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.知能迁移1Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC，D为斜边AC中点.（1）求证：SD⊥面ABC；（2）若AB=BC，求证：BD⊥面SAC.证明（1）

6、如图所示，取AB中点E，连结SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB,∵SA=SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE=E，∴AB⊥面SDE.而SD面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA=SC，D为AC中点，∴SD⊥AC.∵SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,∴SD⊥面ABC.（2）若AB=BC，则BD⊥AC，由（1）可知，SD⊥面ABC，而BD面ABC，∴SD⊥BD，∵SD⊥BD,BD⊥AC,S

7、D∩AC=D,∴BD⊥面SAC.题型二面面垂直的判定与性质如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8，AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积.(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离.(1)证明在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4

8、,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，BD面ABCD，∴BD⊥面PAD.又BD面BDM，∴面MBD⊥面PAD.(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高.又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO=在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，∴四边形ABCD为梯形.在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为此即为梯形的高.当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线