8.5+直线、平面垂直的判定及性质

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1、§8.5直线、平面垂直的判定及性质要点梳理1.直线与平面垂直（1）判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则该直线和此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也于这个平面.相交垂直基础知识自主学习(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内直线.②垂直于同一个平面的两条直线.③垂直于同一直线的两平面.2.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.3.二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.任意平行平行两个半平面（2）二面角的平面

2、角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面.垂直于棱一条垂线交线基础自测1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m,l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.A2.若P是平面

3、α外一点,则下列命题正确的是()A.过P只能作一条直线与平面α相交B.过P可作无数条直线与平面α垂直C.过P只能作一条直线与平面α平行D.过P可作无数条直线与平面α平行解析过P点存在一平面与α平行，则该平面内过P的直线有无数条都与α平行.D3.（2009·广东理，5）给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④解析

4、当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确.答案D4.（2008·湖南文，5）已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则()A.n⊥βB.n∥β，或nβC.n⊥αD.n∥α,或nα解析∵n与β的位置关系各种可能性都有，∴A、B都不对.当nα时，作n′∥n,且n′∩m=O,则n′与m确定平面γ,设α∩γ=l,则有m⊥l,又m⊥n′,所以l∥n′,∴l∥n,∴n∥α;

5、当nα时，显然成立.故C不对，D正确.D5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β；③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.正确的命题是()A.①③B.②③C.①④D.②④解析②中平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线.故②③错，选C.C题型一直线与平面垂直的判定与性质如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.(1)因M为AB中点,只要证△ANB为等腰

6、三角形,则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB.(2)已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC,易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC.题型分类深度剖析证明（1）连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边AB的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.(2)连接PM、CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边

7、形ABCD为矩形，∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M为AB的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.知能迁移1Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=