电大数学与应用数学专业《常微分方程》2016年期终考试重点复习题

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电大数学与应用数学专业《常微分方程》2016年期终考试重点复习题?、填空题(每小题3分,本题共15分)1. 方程兀(># + y(x2 -l)d)j = O所有常数解是 2. 方程y" + 4^ = 0的基本解组是 .3.方程也二J7 +1满足解的存在唯一性定理条件的区域是 dx条件是它们的朗斯基行列式在4.函数组(p{ (x), 02(兀),…,久(兀)在区间I上线性无关的区间I上不恒等于零.共同零点.5.若y = ^(A y = ^2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)6.方程史亍的奇解是( ).dx(A) y = x(B) y = l(C))'=一1(D) y = 07.方程虬』_于过点(£,i)共有(dr 2)个解.(A) 一(B)无数(C)(D)三8. n阶线性齐次微分方程菇本解组中解的个数恰好是)个.(A) n(B) n-1(C)兀+1(D) n+2).9. — ?阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差((A)不是其对应齐次微分方程组的解 (B)是非齐次微分方程组的解(C)是其対应齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解10. 如果/(兀,刃,型』都在xoy平面上连续,那么方程^- = f(x9y)的任-?解的存在区间( ).dy dr(A)必为(―°°, +°°)(B)必为(0, + oo)(C)必为(—8,0)(D)将因解而定三、计算题(每小题6分,本题共30分)求下列方程的通解或通积分:^ = 2 + tanZ dr x x13.(x2ev 一 y)dx + xdy = 014-y\x - In)/) = 115. yy"+y"+2x = 0四、计算题(每小题10分,木题共20分)16. 求方程yM-y = ^ex的通解.17. 求下列方程组的通解dx-drcbd/ / i —V=-x-2y=3x + 4y五、证明题(每小题10分,本题共20分)18. 在方程—= /(yMy)屮,已知/O),0(兀)在(一8,+呵 上连续,且0(±1) = 0.求证:对任dr意X。和|儿| V 1,满足初值条件y(x0) =)'o的解yM的存在区间必为(―,+ X).19. 在方程y"+”O))/ + g(x)y = 0屮,已知〃(兀),讥兀)在(一汽+呵上连续.求证:该方程的任一非零解在 w平面上不能与x轴相切.试题答案及评分标准一、 填空题(每小题3分,木题共15分)1. y = ±1, x = ± 1 2. sin 2x. cos2x3. D = {(x,y)w/?2卜>0},(或不含*轴的上半平面)4. 充分 5.没有二、 单项选择题(每小题3分,木题共15分)11.解:令= 则空=U +兀竺,代入原方程,得Xdx dxdudwU + X —=m + tan u , x——=tan udxdx三、 计算题(每小题6分,本题共30分)当tan u 0时,分离变量,再积分,得(2分)(4分)(5分)6. D 7. B 8. A 9. C 10. D?出訂竺+ lnC| tan u 」xlnlsin w = lnl.d + In C 即通积分为:? V sin — = Cxx12. 解:对应齐次方程空二上的通解为dx xy = Cx令非齐次方程的特解为y = C(x)x代入原方程,确定出c'M=-X再求初等积分得C(x) = ln|x| 4- C因此原方程的通解为y = C兀 + xlnR13. 解:积分因子为jLi(x) = e !x dv ar =e ix =e'2lnx =-^X2取x0 = 1, y° = 0,则原方程的通积分为即eA + — = C, C = e + C\x14. 解: 令y=p,则原方程的参数形式为x =——In p< Py=prh基本关系式屯=)/,有dxdy = y'dx = p(_ - + 丄)d/? = (1-丄)d〃P~ P P积分得 y = p-\np + C(6分)(2分)(3分)(4分)(5分)(6分)(3分)(5分)(6分)(2分)(4分)(5分)得原方程参数形式通解为x = — + \np py = p-lnp + C15.解:原方程是恰当导数方程,可化为(y/ + xV = o于是积分得(lxydy = (c, - x )dx积分得通积分为四、计算题(每小题10分,木题共20分)16 .解:对应的齐次方程的特征方程为:22 -1 = 0特征根为:人=1, A2 = —1故齐次方程的通解为:y — Cj ev + C2e~r因为g = 1是单特征根.所以,设非齐次方程的特解为yx (x) = Axe x代入原方程,有2佔 + Aw"-Aw' =-e\ 2可解出故原方程的通解为y = C]e ' 4- C2e~x + * xe'(6分)(2分)(4分)(5分)(6分)(1分)(2分)(4分)(6分)(7分)(8分)(10 分)分离变量得17.解:方程组的特征方程为\A-AE\ =-1-A -23 4-A即 A2 -32 + 2 = 0特征根为人=1 , 心=2人=1对应的解为(1分)(2分)4儿(3分)其中⑷,勺是人=1对应的特征向量的分量,满足■-1-1-2~2】]_0__ 34-10(4分)可解得a. =1, b, =-l.同样町算出入=2对应的特征向量分量为E =2, bx =-3. 所以,原方程纽的通解为=G2」(5分)(8分)(10 分)五、证明题(每小题10分,本题共20分)18.证明: 由已知条件,该方程在整个xoy平而上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.显然y = ±\是方程的两个常数解.(2分)(4分)任取初值(兀(),儿),其中兀()w (-°°, + 8), y()<
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