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《电大数学与应用数学专业《常微分方程》2016年期终考试重点复习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、电大数学与应用数学专业《常微分方程》2016年期终考试重点复习题•、填空题（每小题3分，本题共15分）1.方程兀（＞#+y（x2-l）d）j=O所有常数解是2.方程y"+4^=0的基本解组是.3.方程也二J7+1满足解的存在唯一性定理条件的区域是dx条件是它们的朗斯基行列式在4.函数组（p{（x）,02（兀），…，久（兀）在区间I上线性无关的区间I上不恒等于零.共同零点.5.若y=^（Ay=^2（x）是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6.方程史亍的奇解是（）.dx(A)y=x(B)y=l(C))'=一1(D)y=07.方程虬』_于过点（£
2、,i）共有（dr2）个解.(A)一（B）无数(C)(D)三8.n阶线性齐次微分方程菇本解组中解的个数恰好是）个.(A)n(B)n-1(C)兀+1(D)n+2).9.—•阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解（C）是其対应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解10.如果/（兀,刃，型』都在xoy平面上连续，那么方程^-=f（x9y）的任-•解的存在区间（）.dydr(A)必为(―°°,+°°)(B)必为(0,+oo)(C)必为(—8,0)（D）将因解而定三、计算题（每小题6分,本题共30分）求下列方程的通解或通积
3、分:^=2+tanZdrxx13.(x2ev一y)dx+xdy=014-yx-In)/)=115.yy"+y"+2x=0四、计算题（每小题10分，木题共20分）16.求方程yM-y=^ex的通解.17.求下列方程组的通解dx-drcbd//i—V=-x-2y=3x+4y五、证明题（每小题10分，本题共20分）18.在方程—=/（yMy）屮，已知/O），0（兀）在（一8,+呵上连续，且0（±1）=0.求证：对任dr意X。和
4、儿
5、V1，满足初值条件y（x0）=）'o的解yM的存在区间必为（―,+X）.19.在方程y"+”O））/+g（x）y=0屮，已知〃（兀），讥兀）在（一汽+呵上连续.
6、求证：该方程的任一非零解在w平面上不能与x轴相切.试题答案及评分标准一、填空题（每小题3分，木题共15分）1.y=±1,x=±12.sin2x.cos2x1.D={（x,y）w/?2卜＞0},（或不含*轴的上半平面）2.充分5.没有二、单项选择题（每小题3分，木题共15分）11.解：令=则空=U+兀竺，代入原方程，得XdxdxdudwU+X—=m+tanu,x——=tanudxdx三、计算题（每小题6分，本题共30分）当tanu0时，分离变量，再积分，得（2分）（4分）（5分）6.D7.B8.A9.C10.D•出訂竺+lnC
7、tanu」xlnlsinw=lnl.d+InC即通积分为:•
8、Vsin—=Cxx12.解：对应齐次方程空二上的通解为dxxy=Cx令非齐次方程的特解为y=C（x）x代入原方程，确定出c'M=-X再求初等积分得C（x）=ln
9、x
10、4-C因此原方程的通解为y=C兀+xlnR13.解：积分因子为jLi（x）=e!xdvar=eix=e'2lnx=-^X2取x0=1,y°=0,则原方程的通积分为即eA+—=C,C=e+Cx14.解：令y=p,则原方程的参数形式为x=——Inp11、（5分）（6分）（2分）（4分）（5分）得原方程参数形式通解为x=—+ppy=p-lnp+C15.解：原方程是恰当导数方程，可化为(y/+xV=o于是积分得(lxydy=(c,-x)dx积分得通积分为四、计算题（每小题10分，木题共20分）16.解：对应的齐次方程的特征方程为:22-1=0特征根为：人=1,A2=—1故齐次方程的通解为：y—Cjev+C2e~r因为g=1是单特征根.所以，设非齐次方程的特解为yx(x)=Axex代入原方程，有2佔+Aw"-Aw'=-e2可解出故原方程的通解为y=C]e'4-C2e~x+*xe'（6分）（2分）（4分）（5分）（6分）（1分）（2分）
12、（4分）（6分）（7分）（8分）（10分）分离变量得17.解：方程组的特征方程为A-AE=-1-A-234-A即A2-32+2=0特征根为人=1,心=2人=1对应的解为（1分）（2分）4儿（3分）其中⑷，勺是人=1对应的特征向量的分量，满足■-1-1-2~2】］_0__34-10（4分）可解得a.=1,b,=-l.同样町算出入=2对应的特征向量分量为E=2,bx=-3.所以，原方程纽的通解为=G2」（5分）（8分）（10分）五、证明题（每小
