2012届高中数学学业水平考试试题(含评分标准)

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2012年上海市普通高中学业水平考试数学试卷(解答)一、填空题(本大题满分36分) 1.已知集合,。若,则_______________。2.函数的定义域为________________。3.满足不等式的的取值范围是________________。4.若球的体积为,则球的半径为____________。5.若直线与直线平行,则_____________。6.若向量与的夹角为,,,则____________。7.在中,角、、所对边的长分别为、、。若,,,则___________。8.若无穷等比数列的首项为,公比为,则该数列各项的和为_____。9.在的二项展开式中,常数项的值为____________。(用组合数表示不给分)10.若为虚数单位是关于的方程 的根,则实数____。11.执行右图所示算法,输出的结果是_____________。12.已知圆:与圆:。设圆与轴正半轴的交点为,圆与圆在轴上方的交点为,直线交轴于点。当趋向于无穷大时,点无限趋近于定点,则定点的横坐标为________。(点的坐标写对也给满分)二、选择题(本大题满分36分)13.若矩阵是线性方程组的系数矩阵,则( )答案 14.函数的反函数是( ) 答案 15.抛物线的焦点到其准线的距离是( ) 答案 16.某校高一、高二、高三分别有学生名、名、名。为了解他们课外活动情况,用分层抽样的方法从中取出名学生进行调查,应抽取高二学生人数为( ) 答案 17.函数 ( ) 答案是奇函数且为增函数 是偶函数且为增函数是奇函数且为减函数 是偶函数且为减函数18.已知扇形的圆心角为,半径为,该扇形的面积为( ) 答案 19.函数的最大值是( ) 答案 20.函数的大致图像是( ) 答案 21.若椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、,则直线的方程为( ) 答案 22.设、是空间两条直线.“、没有公共点”是“、 为异面直线”的( ) 答案 充分但非必要条件 必要但非充分条件 充分必要条件 既非充分又非必要条件23.从名男同学和名女同学中随机抽取名,组成环保志愿者小组,这个小组中必有男同学的概率(精确到)为( ) 答案 24.实数、满足且,由、、、按一定顺序构成的数列( ) 答案可能是等差数列,但也可能是等比数列 可能是等差数列,但不可能是等比数列 不可能是等差数列,但也可能是等比数列 不可能是等差数列,但也不可能是等比数列三、解答题(本大题满分分)25.(本题满分分)已知,化简并求值:.解:原式--- (其中:,)    ---――――∵,∴原式。--――――26. (本题满分分)如图所示,正四棱柱的底面边长为,表面积为,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角数值表示). 解:∵正四棱柱,表面积为,---------------又∵正四棱柱的底面边长为,∴方法一:∵,∴是异面直线与所成角。---------------    在中,,---―――    因此异面直线与所成角的大小为。---―――方法二:利用空间向量    ①建系、标点---;②向量夹角公式---;③结论---。27. (本题满分分)已知等比数列满足,.等差数列满足,.求数列的前项和.解:设等比数列的公比为,――――――则――――――  ∵,∴――――――又,――――――设等差数列的公差为,则――――――于是――――――所以。――――――28. (本题满分分 第一题满分分,第二题满分分)已知双曲线的两个焦点分别为、,渐近线方程为.(1)求双曲线的方程;(2)若过点的直线与双曲线的左支有两个交点,且点到的距离小于,求直线的倾斜角的范围.解:(1)解法一:设双曲线方程为------- 根据题意得, 解得 所以双曲线的方程为。---------------解法二:因为双曲线的渐近线方程为,所以设双曲线方程为由于焦点在轴上,于是方程是所以,即所以双曲线的方程为。---------------(2)当直线与轴垂直时,点到的距离是,不合题意。---当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,则点到的距离为,由,得又因为直线与双曲线的左支有两个交点,由渐近线的方程,得:综上知,。所以直线的倾斜角的范围是29. (本题满分分 第一题满分分,第二题满分分)设函数、有相同的定义域,对任意,过点并垂直于轴的直线与、的图像分别交于点、,向量、满足(为坐标原点).(1)若,,求解析式,并作出大致图像;(2)若,求的最大值和最小值.解:(1)由,得因为,,所以,作图:①大致图形---;②顶点---;③渐近线---。 利用整个图形平移---(2)由题意得当时,由二次函数及不等式性质,得,且。设是区间上任意两个实数,且,则,且,即,且,所以,即。故在区间上是增函数。---―――――于是在区间上的最大值是――――,最小值是。――――因此在处取得最大值,在处取得最大值。――――
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