高中二年级入学考试数学试题+答案

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高二全能知识竞赛 数学试题时量:120分钟 总分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1、已知集合,则( ) A. B. C. D.2、等于( ) A.-1 B. 1 C. D.3、将函数的图象向左平移个单位,所得的函数图象的一条对称轴方程是( )A. B. C. D.4、若p:θ= +2kπ,k∈Z,q:y=cos(ωx+θ)(ω≠0)是奇函数,则p是q的(  )A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件5、设 a>0,b>0,且不等式恒成立,则实数 k 的最小值等于( )A.0 B.4 C.-4 D.-2 6、函数的图象可能是( )7、已知一个确定的二面角和是空间的两条异面直线,在下面给出的四个条件中,能使和所成的角也确定的是 ( )A.//且// B.//且 C.且 D.且 8、已知边长为2的正方形的四个顶点在球的球面上,球的体积为,则与平面所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.9、 设实数x,y满足约束条件,则z= 的最大值为(  )A. B. C. D.310、若为锐角,且满足,则( ) A. B. C. D.11.等差数列的前项之和分别为若,则的值为( ).A.    B.      C.     D.12.设函数的定义域为D,若对于任意,当时,恒有,则称点为函数图象的对称中心.研究函数的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到的值为( ) A. B. -4027 C. 4027 D.-8054二、填空题(共4小题,共20分)13.直线l过点P (-1,2)且点A(2,3)和点B(-4,6)到直线l的距离相等,则直线l的方程为 。14.正四面体(即各条棱长均相等的三棱锥)的棱长为6,某学生画出该正四面体的三视图如下,其中有一个视图是错误的,则该视图修改正确后对应图形的面积为   ,该正四面体的体积为  .16.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2)an + sin2 ,则该数列的前10项和为   . 三、解答题(共6道大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 =.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求△ABC面积最大值. (本小题满分10分)18、 (本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,(1)求不等式g(x)<0的解集;(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围. 19.(本题 12 分)已知函数,,且. (1)若,求实数a的值; (2)若或,求实数a的取值范围. 20.(满分12分)已知圆,圆,以及直线.(1)求圆被直线截得的弦长;(2)当为何值时,圆与圆的公共弦平行于直线;(3)是否存在,使得圆被直线所截的弦中点到点的距离等于弦长度的一半?若存在,求圆的方程;若不存在,请说明理由.21、(本小题满分12分)如图,四棱锥中,, 侧面为等边三角形, ,。(1)证明:;(2)求二面角的平面角的正弦值。22.(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且(1)若,求数列的前项和;(2)若,求证:数列是等比数列,并求其通项公式; (3)记,若对任意的恒成立,求实数的最大值。 高二全能知识竞赛 数学答案 一选择题BBABC BDCBD CD填空题13,x+2y-3=0或x=-1,14,15, 16,7717,【解答】解:(1)∵=.∴,∴sinBcosC﹣2sinAcosC=﹣cosBsinC,∴sinA=2sinAcosC,∵sinA≠0,∴,∴.(2)∵,可得:ab≤4,∴,即:△ABC面积的最大值为,但且仅当△ABC为等边三角形时成立. 18. 【解】 (1)g(x)=2x2-4x-16<0,∴(2x+4)(x-4)<0,∴-2<x<4,∴不等式g(x)<0的解集为{x|-2<x<4}.(2)∵f(x)=x2-2x-8.当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,即x2-4x+7≥m(x-1).∵对一切x>2,均有不等式≥m成立,而=(x-1)+-2≥2-2=2(当且仅当x=3时等号成立),∴实数m的取值范围是(-∞,2]. 经检验符合题意 , (Ⅱ)设由于或 当时,总有不符合题意 当时,由的图像可得 或成立则 (Ⅱ)解法 2:设由于或 当时,总有不符合题意 当时,若 若,则 则 综上 20.解:(1)因为圆的圆心,半径,所以,圆心到直线的距离:,由勾股定理可知,圆被直线截得的弦长为.…………………4分(2)圆与圆的公共弦方程为,因为该公共弦平行于直线,令,解得:经检验符合题意,故所求;…………………7分(3)假设这样实数存在.设弦中点为,由已知得,即所以点在以弦为直径的圆上.…………………10分设以弦为直径的圆方程为:,则消去得:,因为所以方程无实数根,所以,假设不成立,即这样的圆不存在.…………………12分 21. 答案:(1)略 (2)(1) 解:取的中点,连结,,则四边形为矩形。即:,,因为侧面为等边三角形,,所以,且又因为,所以,,所以,,而,,,所以。 ------5分 (2)过点作于,因为,,所以, 又因为,即,由平面与平面垂直的性质,知,在中,由,得,所以。过点作 于,取中点,连结,则为二面角的平面角,因为 ,,所以,所以,在中,由,求得。在中,, ,所以 。由,得 ,即,解得,所以,故二面角的平面角的正弦值为。 ---12分22. 答案:(1) (2) (3)(1)解析:(1) ------3
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