2002年高考试题——数学理(全国卷)

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1、2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）理及答案第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆的圆心到直线的距离是A．　　　B．　　　C．1　　　　D．2．复数的值是A．　　　　B．　　　　C．　　　　　D．13．不等式的解集是A．　　　B．且C．　　　D．且4．在内，使成立的的取值范围是A．　　B．C．　D．5．设集合，，则A．　B．　　　C．　　　D．6．点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为A．0　　　B．1　　　　C．　　　　D．297．一个圆锥和一个半

2、球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．8．正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是A．　　　B．　　　　C．　　　　D．9．函数（）是单调函数的充要条件是A．　　　B．　　　　C．　　　D．10．函数的图象是11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有A．8种　　　B．12种　　　　C．16种　　　D．20种12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7．3

3、%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为A．115000亿元　B．120000亿元　C．127000亿元　　D．135000亿元二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．函数在上的最大值与最小值这和为3，则＝　　　14．椭圆的一个焦点是，那么　　　　　15．展开式中的系数是　　　　　　16．已知，那么＝　　三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．917．已知，，求、的值18．如图，正方形、的边长都

4、是1，而且平面、互相垂直点在上移动，点在上移动，若（）（1）求的长；（2）为何值时，的长最小；（3）当的长最小时，求面与面所成二面角的大小19．设点到点、距离之差为，到、轴的距离之比为2，求的取值范围20．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？921．设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值22．设数列满足：，（I）当时，求并由此猜测的一个通项公式；（II）当时，证明对所的，有（i）（ii

5、）9参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACDCBBCBABBC二、填空题（13）2　　　（14）1　　　（15）1008　　　（16）三、解答题（17）解：由，得∵∴，∴，即∴∴（18）解（I）作∥交于点，∥交于点，连结，依题意可得∥，且，即是平行四边形∴由已知，∴，9（II）由（I）所以，当时，即当、分别为、的中点时，的长最小，最小值为（III）取的中点，连结、，∵，为的中点∴，即即为二面角的平面角又，所以，由余弦定理有故所求二面角为（19）解：设点的坐标为，依题设得，即，因此，点、、三点不共线，得∵∴因此，点在以、为焦点，实轴长

6、为的双曲线上，故9将代入，并解得，因所以解得即的取值范围为（20）解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，…，每年新增汽车万辆，则，对于，有所以　　　　当，即时当，即时数列逐项增加，可以任意靠近9因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即（）则，即万辆综上，每年新增汽车不应超过万辆（21）解：（I）当时，函数此时，为偶函数当时，，，，此时既不是奇函数，也不是偶函数（II）（i）当时，当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为．若，则函数在上的最小值为，且．（ii）当时，函数若，则函数在上的最小值为，且若，则函数在上单

7、调递增，从而函数在上的最小值为．综上，当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为．（22）解（I）由，得由，得由，得9由此猜想的一个通项公式：（）（II）（i）用数学归纳法证明：①当时，，不等式成立．②假设当时不等式成立，即，那么．也就是说，当时，据①和②，对于所有，有．（ii）由及（i），对，有……于是，9