量子力学讲义4

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1、河南科技大学物理工程学院教案（李同伟）第二章波函数和薛定谔方程第二章波函数和薛定谔方程§2-1波函数（WaveFunction）的统计解释一、微观粒子的波粒二象性1．经典物理学对波粒二象性解释的失败德布洛意的物质波假设的实质是：所有运动的实物粒子都既具有粒子的性质又表现出波动的性质，就是所谓的实物粒子的波粒两象性。可惜的是，当时人们的思想还是深受经典物理学的影响，在其非此即彼思想的束缚下，曾经出现如下两种对波粒两象性的解释，它们均以失败而告终。第一种观点认为：运动电子是某种物质波形成的波包，即由许多不同频率

2、的波构成的一个复波，它可以局限在电子大小的空间（）中。计算表明，该波包的寿命大约只有，也就是说在非常短的时间内电子就变成非定域的了，此即所谓波包发散的困难。这种观点只片面地强调了电子波动性，而忽略了它的粒子性。另一种观点认为：运动电子的波动性对应于由大量电子分布于空间而形成的疏密波，它类似于空气振动出现的纵波，即分子的疏密相间而形成的一种分布。这种看法也与实验矛盾。实际上，在电子的衍射实验中，不但让多个电子同时通过仪器可以得到衍射图案，即使让电子一个一个地通过仪器，只要实验的时间足够长，仍然可以在底片上得到

3、电子的衍射图案。这说明运动电子的波动性并不一定是在许多电子同时存在于空间中才会出现，更确切地说，单个电子就具有波动性。2．波粒二象性的正确解释首先，让我们来回顾一下经典物理学是如何理解粒子的概念的：（1）经典粒子具有确定的大小、质量和电荷，在空间中占据某个确定的位置。它们在与其它物体相互作用时，是整体地发生作用。（2）经典粒子运动时，服从牛顿力学定律，具有一条确定的轨道。（3）经典粒子的状态用相应物理量（能量、动量等）的值来表征，这些物理量可以连续取值。其次，再来看看经典物理学中波动的概念：（1）经典的波动

4、是可以在整个空间中传播的周期性扰动。（2）表征经典波动的物理量是频率和波矢。运动的规律服从相应的波动方程，例如，电磁波遵循麦克斯韦方程。（3）经典波动满足叠加原理，可以得到干涉和衍射花样。最后，让我们来回答运动粒子（例如，电子）到底是什么？著名物理学家费曼（Feynman）指出，电子既不是粒子，也不是波。更确切地说，运动电子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它既具有经典粒子的第一条属性，又具有经典波动的第三条属性，并且，摈弃了经典粒子与波动的其它属性。粒子与波只是电子的两种不同的属性，是粒

5、子与波动这一对矛盾的综合体。为了加深对电子波粒两象的理解，作一个不恰当的比喻：一个社会中的人（运动的电子）同时具有好（波动）与坏（粒子）两种属性。经典理论认为，只存在绝对的好人与绝对的坏人，根本不存在既具有好的属性又具有坏的属性的正常的人。量子力学认为，并不存在绝对的好人和绝对的坏人，正常的人总是既有好的属性又具有坏的属性。对于不同的人来说，只不过所具有的好与坏的两种属性的比例不同而已。在认识论上，经典物理学犯了两个错误，一是把事物的属性当作事物本身，二是非此即彼的观点将事物绝对化。二、玻恩（Born）对波

6、函数物理意义的统计解释5河南科技大学物理工程学院教案（李同伟）第二章波函数和薛定谔方程波粒二象性是对立的，又如何统一？波函数的意义是什么？1926年，薛定谔建立了一个非相对论的波动方程，即著名的薛定谔方程。它是一个波函数关于时间的一阶微分方程。但当时只知道方程中的波函数是坐标和时间的一个复函数，至于它的物理内涵到底是什么，并没有给出一个恰当的解释。不久，玻恩（Born）通过对散射过程的研究提出了概率波的概念，才使人们的思想彻底从经典理论的束缚下解放出来。玻恩认为：不论是德布洛意的物质波，还是薛定谔的波函数都

7、不是什么实在的物理量的波动，只不过是描述粒子在空间的概率分布的概率波而已。此即玻恩对波函数的概率波解释。为了容易抓住概率波概念的要害，下面的讨论暂不顾及波函数中的时间变量，用一组简单的实验来说明概率波的概念。我们分别用四种不同的入射对象（子弹、水面波、光波和电子）来研究一个假想的双缝实验。实验的装置可以简化为：有两条狭缝的屏及其后面的靶。每次实验都进行多次入射。每种入射对象的实验都分三步进行，首先，关闭狭缝2只留狭缝1，在靶上得到弹着点的分布或光强分布，其次，关闭狭缝1只留狭缝2，在靶上得到弹着点的分布或光

8、强分布，最后，两个狭缝全部开放，在靶上得到弹着点的分布或光强分布。实验的结果是：使用子弹时，有；而用水面波或光波入射时，，这是由于水面波或光波的干涉现象造成的；在电子的双缝衍射实验中，随着入射电子数目的增多，感光底片上就出现有规律的图案，其强度分布与光波的结果是相似的，而与宏观子弹的结果完全不同。下面具体分析光和粒子的实验现象。1．光的波、粒二象性的统一一方面光是电磁波，光的传播由和来描写，光的强度与、成正比，如