量子力学讲义chapter4.ppt

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1、第四章矩阵力学基础——表象理论复旦大学苏汝铿第四章矩阵力学基础——表象理论本章目的：给出用各种方式平行描述体系状态、力学量等方案－－表象找出不同表象之间的相互关系和变换规则－－么正变换建立一套用态矢量描述量子态的方案－－Dirac算符引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子§4.1态和算符的表象表示表象：态和力学量的一种具体表述方式给定一个线性厄米算符找出它的本征函数系{Un(r)}{Un(r)}具有正交、归一、完备、封闭性，可以作为Hilbert空间的一组基底表象态的表象§4.1态和算符的表象表示坐标表象：§4.1态和算符的表象表示动量表象：§4.1态和算符的表象表示任意表

2、象：§4.1态和算符的表象表示§4.1态和算符的表象表示说明：列矩阵是在Q表象中的波函数Hilbert空间与普通空间的不同在于：复矢量、可以是无穷维、空间维数＝本征函数系中本征函数的个数若某波函数刚好是Q的本征态，则将它按Q本征态展开式中只有一项§4.1态和算符的表象表示连续谱表示§4.1态和算符的表象表示算符的表象：§4.1态和算符的表象表示§4.1态和算符的表象表示§4.1态和算符的表象表示§4.1态和算符的表象表示§4.1态和算符的表象表示Q表象中的算符F矩阵，矩阵元F_nm是第m个新基在第n个旧基上的投影连续谱：§4.1态和算符的表象表示厄米算符厄米矩阵§4.1态

3、和算符的表象表示算符在自身表象中对应对角矩阵§4.1态和算符的表象表示结论：量子态Hilbert空间中的态矢量波函数态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵或波函数表示Q的本征函数系Q表象的基底不同表象不同基，不同坐标系§4.1态和算符的表象表示结论：本征函数基矢厄米算符的本征函数系完备基算符矩阵§4.2矩阵力学表述波函数§4.2矩阵力学表述算符§4.2矩阵力学表述平均值公式§4.2矩阵力学表述平均值公式§4.2矩阵力学表述归一条件§4.2矩阵力学表述归一条件§4.2矩阵力学表述本征值方程§4.2矩阵力学表述§4.2矩阵力学表述§4.2矩阵力学表述矩阵力学提供了另一

4、种与波动力学不同的求本征值和本征函数的方案：1)求解本征方程2)使算符对应的矩阵对角化§4.2矩阵力学表述薛定谔方程：§4.2矩阵力学表述§4.2矩阵力学表述§4.2矩阵力学表述将求解偏微分方程的问题变为算矩阵元{F_nm}，及求解线性偏微分方程组的问题若F厄米，则久期方程的根必为实根(但可能有重根)§4.3么正变换问题：F的本征值是否与表象有关？从表象A表象B，波函数、算符怎么变？坐标空间的变换：平移＋旋转，正交变换(实空间)不同表象的变换：么正变换§4.3么正变换§4.3么正变换§4.3么正变换§4.3么正变换§4.3么正变换§4.3么正变换§4.3么正变换算符§4.3

5、么正变换波函数§4.3么正变换§4.3么正变换本征态§4.3么正变换一种新的求本征值的方案通过么正变换使矩阵对角化？并不简易§4.3么正变换§4.3么正变换么正变换不改变矩阵F的阵迹§4.3么正变换演化算符，含时间的么正变换§4.4狄拉克符号目的：引入一套矢量运算方法，不依赖于具体的表象符号：ketbra

6、是

7、A>的共轭矢量§4.4狄拉克符号§4.4狄拉克符号§4.5线性谐振子和占有数表象目的：用矩阵力学方法求解线性谐振子建立占有数表象，引入产生、湮灭算符给出一套在谐振子表象中计算坐标矩阵元和动量矩阵元的最方便的方案§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有

8、数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象产生、湮灭(波色)算符的性质§4.5线性谐振子和占有数表象§4.5线性谐振子和占有数表象本章小结

9、本章小结本章小结本章小结本章小结