谱估计4.最大熵法

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1、最大熵谱估计（AR模型和线性预测）在一定条件下，ARMA或MA模型可以用阶次为无穷大的AR模型来近似。条件是：信号是平稳的，且方差为有限值。由于ARMA和MA模型参数确定需要求解非线性方程，而AR模型参数用线性方程即可求出，因此AR模型被研究和使用得最多。Burg提出最大熵谱估计（MaximumEntropySpectraEstimation）,VanDenBos证明了对一维高斯平稳信号，AR谱、线性预测和最大熵谱等价。主要内容最大熵谱估计的基本原理最大熵谱估计与AR模型谱估计、预测误差滤波法等效最大熵功率谱的计算(AR模型参数的计算）最大熵谱估计（AR模型）的稳定性和

2、阶数的确定有附加噪声的AR过程的谱估计最大熵谱估计的特点最大熵的基本思想：就是根据已知数据信息，在不进行任何新的假设(不增加任何虚假信息)的情况下，合理地预测未知延迟离散时间上的相关函数。即在根据已知信息外推相关函数时，每一步都保持未知事件的不确定性或熵为最大。信息量可见熵是消息源发出每个消息的平均信息量。对于高斯分布的随机变量，布卡乔夫证明了其熵和自协方差矩阵间存在关系：当时间序列为零均值时，熵和自相关函数之间存在关系：当过程为无限长时，用熵率作为信息的度量时间序列功率谱密度和熵率的关系：时间序列的频率范围是[-fc，fc]从最大熵原理出发进行谱估计若已知自相关函数R

3、x(m)的前2M+1个序列值，则选择未知自相关函数要使：从而可以外推出Rx(M+1)。并依此类推得到其它自相关函数值。于是功率谱若选择可以得到令整理后得到【最小相位(其零点都在单位圆之内)最大相位】令，最大熵谱估计AR谱和最大熵谱估计等价对于M阶AR模型：x(n)的估值估计误差输入视为e(n)，输出视为x(n)，则系统函数为：设激励信号e(n)为零均值，方差为的白噪声序列，功率谱密度为Pn，则数据序列x(n)的功率谱为：而即AR谱估计为：可见，序列的最大熵功率谱和AR模型拟合所对应的功率谱是等价的，并且由于，所以AR参数和自相关函数Rx(m)之间的关系为：即Yule-W

4、alker方程。AR模型谱估计实质是模型参数的辨识问题。预测误差滤波法和最大熵谱估计等价预测：由随机序列x(n)过去和现在的M个值来预测下一个取样值x(n+1)。即通过合理选择预测系数，使预测均方误差达到最小确定出的M阶FlR滤波器，称为数字预测滤波器。预测误差为：当估值均方误差达到最小时，满足正交原理。即简化后，得：最小预测误差功率为：合并整理，得到：可见，对同一数据列用AR模型和预测误差滤波所解得的参数值是完全相同的。预测误差滤波器是一个白化滤波器，滤波器的系统函数为：x(n)的功率谱可求得：利用Yule-Walker方程求解系数很困难，因为要进行矩阵求逆运算。改进

5、方法包括：Levinson-Durbin递推算法；（需要从时间序列x(n)的有限个数据得到其自相关函数的估计值，可能在计算AR参数时引入很大误差，导致谱线分裂与谱峰偏移等现象。）Burg算法；（提出利用前、后向预测误差功率之和最小的方法来求得反射系数，进而求得预测误差滤波器系数。对应于格形滤波器。）最大熵（AR模型）谱估计的稳定性和阶数确定阶数确定：必须正确选择模型的阶数。阶数M估计得太小，对序列长度N的序列的最大熵谱估计会过分平滑，不能给出足够的分辨率，结果可能仅出现被测信号中最易预测，变化最缓慢的频率点的峰值。阶数M估计得太大，拟合会产生急剧变化和振荡，所得的谱估计

6、具有虚假的细节。在低噪声或无噪声时，AR模型的阶数过分大，将会发生谱线分裂现象。阶数最优(用Mopt表示)的选取准则：1．最终预测误差(FPE)准则零均值情况下，Akaike给出使FPE最小的估值公式M为AR模型的阶数，N为信号采样点数，P(M)为预测误差功率。非零均值情况下，2.信息论(AIC)准则Akaike提出最佳阶次的选择应使下式为最小值：AIC准则和FPE（最终预测误差）准则的关系是：3．自回归(CAT)传递函数准则parzen提出最佳阶数的选择应使得精确预测滤波器和近似预测滤波器输出的预测误差之差的估值为最小。即使最小。结论：信噪比较高时，上述三种方法确定的

7、阶数M基本一致。当信噪比较低时，三种方法结果不同，给出的M值偏低，其中以FPE方法较为正确。最优阶数的计算：上述各准则所确定的阶数，都可以在计算预测滤波器参数（、）的每一次递推中求出。由于最大熵谱估计与预测滤波器等价，而对于预测滤波器中的，存在，因此在算出新值后与以前的值作比较，若新值比以前的值大，则终止迭代，得到最优阶数Mopt。AR模型谱估计的稳定性AR模型稳定的充要条件是其转移函数的极点都在单位圆内，即的根在单位圆内。可以证明，此时Yule-Walker方程中系数矩阵（自相关矩阵）是正定的。AR模型对应的预测滤波器中反射系数有附加噪