1980年全国高考数学试题及其解析

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1、1980年全国高考数学试题及其解析理工农医类一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:(1)有理数范围;(2)实数范围(3)复数范围.二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.(a、b、N都是正数,a≠1,b≠1)五、直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB.(1)写出f(x)的极大值M

2、、极小值m与最小正周期T;(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.七、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列,求∠B(用反三角函数表示).、九、抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.附加题问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总有公共点.11文史类一．（本题满分8分）化简二．

3、（本题满分10分）三．（本题满10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角。四．（本题满分12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？五．（本题满分14分）六．（本题满分16分）1．若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD。2．写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？七．（本题满分16分）如图，长方形框架ABCD

4、-A＇B＇C＇D＇。三边AB、AD、AA＇的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线B＇D＇垂直于E。1．证明A＇E⊥B＇D＇;2.求AE的长。八．（本题满分16分）1．把参数方程（t为参数）化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图。2．当时，各得到曲线的哪一部分？11理工农医类参考答案及解析二、证明:设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3.因这三个圆两两外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,△O1O2O3为直角三角形.三、证明:取△A

5、BC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),根据所选坐标系,如图,有a>0,b<0,c>0.解(1)、(2),得:(b-c)x=0.∵b-c≠0,∴x=0.这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上.因此,三条高线交于一点.四、证法一:令logbN=x,根据对数定义,bx=N.两端取以a为底的对数,Logabxx=logaN,xlogab=logaN.∵b≠1,∴logab≠0,证法二:令logbN=x,根据对数定义,11

6、N=bx=(alogab)x=axlogab,∴xlogab=logaN.∵b≠1,logab≠0,五、证明:用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交.设平面N与平面M的交线为l.∵PA⊥平面M,∴PA⊥l.又∵PB⊥平面N,∴PB⊥l.∴l⊥平面PAB,∴l⊥AB.六、解:(1)M=1,m=-1,(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.而任意两个整数间的距离都≥1.因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个

7、值是M与一个值是m,必须且只须使f(x)的周期≤1.可见,k=32就是这样的最小正整数.七、解法一:设CD=h,AB=c,BD=x,则AD=c-x.即x2=c(c-x),即x2+cx-c2=0,∵取负号不合题意,11又依直角三角形的性质,有AC2=AD·AB=c(c-x).但x2=c(c-x),∴AC2=x2,解法二:由题设有(CD·BD)2=(CD·AD)·(CD·AB),∴BD2=AD·AB.但AC2=AD·AB,∴BD=AC.两端乘以正数sin,问题化为证明2sinsin2≤1+cos.而2sinsin2=4si

8、n2cos=4(1-cos2)cos=4(1-cos)(1+cos)cos.所以问题又化为证明不等式(1+cos)[4(1-cos)cos-1]≤0.118t2(1-t2)≤(1+t2)2,即-9t4+6t2-1≤0,-(3t2-1)2≤0.∴不等式成立.九、解:设圆的方程为(x-k)2+y2=1.再设圆与抛物线的一个交点为P(x