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1、目录I考查目标2II考试形式和试卷结构2III考查内容2IV.题型示例及参考答案39全国硕士研究生入学统一考试高等代数考试大纲I考查目标要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。II考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间180分钟。二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。三、试卷内容与题型结构计算题（30%）、证明题（70%）III考查内容一、多项式1.熟练掌握多项式因式分解理论及整除理论。2.掌
2、握多项式、不可约多项式、最大公因式、重因式的概念；掌握整除、互素、不可约等概念的联系与区别。3.掌握带余除法、辗转相除法、艾森斯坦因（Eisenstein）判别法。4.会求两个多项式的最大公因式，会求有理系数多项式的有理根，会判别两个多项式互素。二、行列式1.熟练掌握行列式的性质及行列式的计算。2.掌握n阶行列式的定义。3.掌握克拉默（Cramer）法则。三、线性方程组91.熟练掌握向量线性相关性的概念、性质、判别法，会求向量组的秩及最大线性无关组。2.掌握基础解系的概念及计算，熟练掌握线性方程组的解的判别定理，以及齐次和非齐次线性方程组的求
3、解。3.熟练掌握矩阵的秩的概念及计算。四、矩阵1.熟练掌握矩阵、可逆矩阵、初等矩阵的概念与性质。2.理解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算及思想方法。3.熟练掌握矩阵的加法、减法、乘法，数乘、转置等运算。4.熟练掌握可逆矩阵的判别方法及逆矩阵的计算。5.能熟练使用矩阵的初等变换方法。五、二次型1.掌握二次型的标准形、实二次型的规范形的概念。2.熟练掌握正定二次型的概念、性质、判别方法。3.掌握化二次型为标准形的思想方法。4.理解合同矩阵的概念及背景。六、线性空间1.掌握线性空间、子空间的概念及判定方法。2.掌握基与维数的概念、性质及求法，能熟
4、练运用维数公式、基变换公式，会求过渡矩阵。3.掌握子空间的交与和的概念、性质及求法。4.熟练掌握子空间的直和的概念、性质。5.理解线性空间的同构及判定方法。七、线性变换1.掌握相似矩阵的概念、背景、性质及判定方法。2.熟练掌握特征值和特征向量的概念、性质及求法。3.熟练掌握线性变换的矩阵可对角化的条件及方法。94.掌握不变子空间的概念及判定方法。5.掌握线性变换的概念、性质、运算及判定方法。6.掌握Hamilton-Caylay定理及其应用。7.掌握线性变换的值域与核的概念、性质及求法。8.会求线性变换的矩阵、最小多项式。八、-矩阵1.会求矩
5、阵的Jordan标准型。2.掌握矩阵的行列式因子、初等因子、不变因子的概念及求法。九、欧几里得空间1.掌握欧几里得空间、标准正交基与正交矩阵、对称变换与实对称矩阵、正交变换、正交补、度量矩阵的概念与性质。2.熟练掌握实对称矩阵正交对角化方法.3.掌握正交矩阵判别方法。4.会求欧几里得空间的标准正交基IV.题型示例及参考答案一（20分）设求：1）A的不变因子、行列式因子、初等因子；2）A的Jordan标准形.二（20分）设线性方程组试讨论：当a,b分别取什么值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其一般解.9三（18分）设A是
6、矩阵（），是的伴随矩阵.试证明：当时，；而当时，或.四（20分）设是维欧氏空间中的一组向量，记其中为内积.证明：线性无关.五（20分）设是一对称矩阵，且.证明：存在，使得，其中*表示一个阶数与相同的矩阵.六（20分）设/A是线性空间上的一个线性变换，若/A可逆，且是/A的一个特征值，则是的特征值.七（18分）设(1)证明:是的一个子空间；(2)若，问八（14分）设是复数域上的n维线性空间的两个非零线性变换.且.试证：与有公共非平凡不变子空间.9参考答案一．解：的标准形为不变因子1，1，行列式因子1，1，初等因子，A的Jordan标准形二．解：
7、D==-b(a-1)当D≠0时，即a≠1且b≠0时，有唯一解当D=0时，若b=0：R(A)=2，R(B)=3，无解若a=1：B=当b≠:R(B)=3，R(A)=2无解当b=:B9通解，k为任意常数。三．证：若R(A)=n：若R(A)=n-1:A中至少有一个n-1阶子式不为零。又，得若R(A)＜n-1：A中所有n-1阶子式全为0，（i,j=1,2,…,n）四．证：设则i=1,2,…,m(i=1,2,…,m)线性无关上述方程组只有零解。五．证：令9六．证：设/A=为/A属于的特征向量=//=是/的特征值。七．解：1)且AB=0,AC=0是的子空间
8、。2)设是的一个基础解系，考虑下列矩阵,,…,,…,…,则（i=1,2,…,n(n-r)）.显然线性无关，即为S(A)的一组基dimS(A)=n(n-r).八．证：
