计量经济学讲义第八讲(共十讲)

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1、浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列第八讲平稳时间序列与单位根过程一、随机时间序列模型概述在严格意义上，随机过程的平稳性是指这个过程的联合和条件概率分布随着时间t的改变而保持不变。在实践中，我们更关注弱意义上的平稳或者所谓的协方差平稳：显然。在本讲义中，平稳皆指协方差平稳。当上述条件中的任意一个被违背时，则称是非平稳的。（一）平稳随机过程的例子1、白噪声过程：2、AR(1)过程：，是白噪声过程为了验证上述过程满足平稳性条件，我们首先通过迭代得到：。接下来注意到，，进一步假设数据生成过程发生了很久，即t趋于无穷大，则；其次也有，

2、当t趋于无穷大时，；最后，当t趋于无穷大时，有：关于AR(p)过程的平稳性，见附录。11浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列3、MA(P)过程：，是白噪声过程显然，任意有限阶MA过程都是平稳的。练习：对于是白噪声过程，请指出平稳性条件。关于ARMA(p,q)过程的平稳性，见附录。（二）非平稳随机过程的例子1、随机游走：，其中是白噪声过程注意到，故有：、。显然，随着时期的延伸其方差趋于无穷大，因此随机游走属于非平稳过程。对于过程：，其中是白噪声过程。该过程被称为带漂移的随机游走。显然这也是一个不平稳的数据生成过程。笔记：1、有效

3、市场理论认为股票价格应当是一个随机游走过程。在随机游走模型中，是白噪声过程，，因此有效市场理论的含义也即是股票价格变动（）是不可预测的。按照有效市场理论，股票价格能够及时吸纳消息，因此，如果下一时刻价格与现在价格确实存在差异，那么导致这个价格差异的消息就现在时刻来说是无法预测的，否则，现在价格将马上变动从而使价格差异消失。2、在财富（预期未来现金流的贴现）给定的情况下，最优的消费计划是现在消费与下一期消费相等（饿一等饱一等显然不是最优）。如果下一期消费与现在的消费确实存在差异，那么导致这个差异的原因（也许是飞来横财）在现在肯

4、定是不知道的，否则现在的消费将作出调整，并做到现在消费与下一期消费相等。按照上述逻辑，消费将是一个随机游走过程。以上是Hall(1978)的消费随机游走理论。2、单位根过程：，是平稳过程显然随机游走是单位根过程的特例。另外，我们还可以在上述模型基础上增加截距项或者时间趋势项，如：11浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列上述过程都属于单位根过程。笔记：按照附加预期的菲利普斯曲线理论：通胀率=预期的通胀率-a（失业率-自然失业率）+供给冲击。失业率与自然失业率的差异（即周期性失业率）与供给冲击一般是平稳的。假定人们采取静态预期，即

5、预期通胀率等于过去一年的实际通胀率，则通胀率=过去一年的通胀率+平稳性变量，故基于一些假定我们可以从理论上表明通胀率是一个单位根过程。3、趋势平稳过程：，是平稳过程由于随时间的变化而变化，故该过程是不平稳的。然而，对变量剔除时间趋势之后我们将得到一个平稳的过程。因此，上述模型被称为趋势平稳过程。趋势平稳过程在剔除时间趋势之后显示出平稳性。而对过程：，其中平稳，故，即通过对变量取差分，我们可以得到一平稳序列，这样的过程被称为差分平稳过程。只要我们在分析时注意纳入时间趋势变量，趋势平稳过程基本上不会对传统的计量分析构成威胁。而单

6、位根过程才是对传统计量分析的真正威胁。事实上，在计量经济学文献中，非平稳过程常常被作为单位根过程的同义词。二、为什么考察数据生成过程的平稳性十分重要？对于两个不平稳的变量，即使从理论上看两者毫无联系，但实证中我们常常会发现两者具有“显著”的相关关系，此即“伪相关”问题，在回归分析中这被称为“伪回归”。另外，当变量含有单位根时，我们通常所利用的一系列统计检验，如t检验与F检验，经常会失效，因为t统计量或者F统计量此时很可能并不服从标准的t分布或者F分布。三、如何基于样本数据判断过程的平稳性？（一）通过折线图粗略判断如果样本数据

7、表现出均值回复的态势，那么可初步判断数据生成过程是平稳的（应该注意到，对于趋势平稳过程，其均值具有确定性的时间趋势）。如果样本数据表现出持久偏离均值的态势，则初步判断数据生成过程是非平稳的。（二）利用相关图如果样本自相关函数表现出拖尾性，而偏自相关函数表现出截尾性，我们可以初步判断数据生成过程是平稳的AR过程；如果样本自相关函数表现出截尾性，而偏自相关函数表现出拖尾性，我们可以初步判断数据生成过程是MA过程；如果样本自相关函数表现出拖尾性，而偏自相关函数也表现出拖尾性，我们可以初步判断数据生成过程是平稳的ARMA过程。（三）

8、单位根检验考虑模型：11浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列其中是白噪声。模型可以被改写为：其中。单位根检验等价于检验是否为零。该检验是一个单尾检验，我们不考虑>1的情况。因为该情况意味着时间序列是爆炸性。该检验的假设体系是：与往常一样，我们利用t统计量来进行检验。然而，在原假设下，此时的t