高一数学人教A版必修4学案：312两角和与差的正弦、余弦、正切公式二含答案

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1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）【明目标、知重点】1.能利用两角和与差的正眩、余弦公式推导出两角和与差的正切公式2能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.填要点•记疑点1.两角和与差的正切公式,tan«+tan/?（1）%+炉tan（a+^）=1_tanaW.tan«—tan^（2）%-炉tan@—0）=1+伽加需2•两角和与差的正切公式的变形（1）T（m）的变形：tana+tan"=tan（a+〃）（1—tanatan〃）・tana+tan"+tanatan^tan（a

2、+0）=tan（u+〃）.tana+tan"tan«tan/?=l-tan（tt+^}.（2）T（「0）的变形:tana—ta叩=tan（a—〃）（1+tanatan〃）・tan«—tan/?—tanatan^tan（a—〃）=tan（a—〃）•tana—tan//tan°tan0=吋_“）T・探要点•究所然［情境导学］某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处.小山的高BC约为30米，在地平面上有一点/，测得力、C两点间距离约为67米，从点/处观测电视发射塔的视^i（ZCAD）约为45。.求这座电视发射塔的高度.解设电视发射塔的高CD=x,Z

3、CAB=af.30贝Usina=^y.在RgBD中，,x+30tan（45°+a）=3。lana,于是x=30tan(45o+a)tan«如何能由sina=齐求得tan(45°+(z)的值呢？或者说能不能用sina扌巴tan(45°+a)表示出来呢？虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式显然不能直接解决上述问题.我们有必要得到两角和与差的正切公式.探究点一两角和与差的正切公式的推导思考1你能根据同角三角函数基本关系式鷲，从两角和与差的正弦、余弦公式出sin(a+“)cos(a+0)发，推导出用任意角a,0的正切值表示tan(

4、a+0),tan(«—的公式吗？试一试.当cos(ot+〃)HO时，tan(a+〃)=sinacos"+cosasin"COSQCOS0—sinasin/T当cosacos^HO时，分子分母同除以cosacos",得tana+tan"tan(ap)—tanatan^'根据弘0的任意性，在上面式子屮，以一0代替〃得tana+tan(—“)tana—tan#tan(ap)—tan«tan(—/?)1+tan«tan^'思考2在两角和与差的正切公式中，a,卩,a土“的取值是任意的吗?答在公式％切，Tsf中a,[I,a±0都不能等于加+号伙WZ).探究点二

5、两角和与差的正切公式的变形公式思考两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tana土tan0=tan(a±0)(1Ttanatan/?),tana+tan"tan(z—tan^tantttan/?=+tan15°-tan(«+^)=tan(a-^)-1-这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的•请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.练习：直接写出下列式子的结果：tanl2°+tan33°⑴1—tan12^1133。(2)tan75°=；1—tanl5°答案(1)1(2)2+^3例1求下列各式的值:羽+tanl5。"1—羽tanl5。’(

6、2)tan15°+tan30°+tan15°tan30°.=tan(60°+15°).tan60°+tanl5°解(1)原式=i—tan60°tanl5。tan75°=tan(30°+45°)tan30°+tan45°1—tan30°tan45°tanl5°+tan30°(2).tan45°=".coano=1,'71—tanl5°tan30°tanl5°+tan30°=1—tanl5°tan3O°・•・原式=(1-tanl5°tan30°)+tan15°tan30°=1.反思与感悟公式T(a+”)，T(a-旳是变形较多的两个公式，公式中有tan«

7、tan/Atan«+tan/?(或tan«—tan"),tan(a+0)(或tan(a—0))三者知二可表示出第三个.跟踪训练1求下列各式的值：cos75°—sin75°(1)cos75°+sin75°;(2)tan36°+tan84°—V3tan36°tan84°.鈕眉十1—tan75°tan45°—tan75°解(1)原式=!+tan75o=1+tan45°tan75°=tan(45。一75。)=tan(—30。)=—tan30°=—(2)原式=tan120°(1-tan36°tan84°)-V3tan36°tan84°=tan120°—tan

8、120°tan36°tan84°—^/3tan36°tan84°=tan120°=—羽.例2若a,“均为钝角，且(l-ta