数列求和与递推公式(纯手工,教育培训专用讲义)

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1、数列求和1.数列求和的常用方法(1)倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法；(2)分组求和法：适用于等差与等比数列相加减；(3)裂项相消法：适用于—其中｛%｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部分a%j无理数列、含阶乘的数列等；(4)错位相减法：适用于｛色仇｝其中｛色｝是等差数列，｛仇｝是各项不为0的等比数列。2.常用结论宀了1cn(n+l)(1)0i+2+…+〃=*=i2(2)工(2£-l)=l+3+5+・・・+(2/?+l)=/『k=1111(3)=；〃(力+1)n/?+1'—合卅解二金*破1、倒序相加主要思想和等差数列求和一样，首末配对

2、！Y2111【例1】已知/(兀)=宀，则/(1)+/(2)+/⑶+/⑷+/(-)+/(-)+/(-)=；1+十234【变式训练1】设几则石T)+7(寻)+•••+£¥)的值为()A.5B.10C.15D.202、分组求和【例2】已知数列｛如是3+2-l,6+22-l,9+23-l,12+24-b…，写出数列｛如的通项公式并求其前〃项和S”.【变式训练2】求数列3+丄，6+-V，......,3n+4-的各项的和.3323"1.裂项相消法如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：介]=丄__i

3、_⑥]=ifi__l)©]-L(L!_、①九0+1)nn+l；n(n+k)n^-k'◎〃仇+2)一2幕斤+2丿④二L_(2"+1)(2网+1)2"+12n+l+1]二.1咻+1)(刃+2)2h(h+1)(〃+1)(〃+2)n5+1)!15+1)!⑦适当放缩:1111111~vv=——kR+1一伙+1Uk2k-k;2(Vn-H-Vn)=―2<_L<_2_Vh+VtT+TJn[n+Jn_=2(乔一厶一1)【例3】求和:(1)叨忌’求4｝的前〃项和盼(2)1(2/1-1)(2/?+!)求a｝的前〃项和％(3)5=⑶l2）x（3h+1）求｝的前〃项和为

4、:（4）%=”（,+2），求证：｛色｝的前斤项和S„<

5、；(5)a“=―,求｛匕｝的前120项和;Vn+1+Vn2”（6）山=（2”_1）；2讪_i）求a｝的前几项和s”；(7)Sn=1111+2x44x62/?(2n+2)(8)求］J-_—H——-—+，(艇M)1+21+2+31+2+3+41+2+3+・•+兀4.错位相减法【例4](1)己知数列求数列｛an｝的前〃项和S”。(2)求和S“1352/2-1=——HF—248r1、在数列｛色｝中，%=—,且片=9,则/2=.yjYl+a/M+12、设｛色｝是公比为正数的等比数列，®=2,«3=6/2+4

6、,⑴求｛%｝的通项公式；⑵设｛化｝是首项为1,公差为2的等差数列,求数列｛色+®｝的前〃项和为.3.设｛色｝是等差数列,｛bn｝是各项都为正数的等比数列，且a=b=,他+2=21，⑴求M,｛bn｝的通项公式:⑵求数列的前72项和Sn.3.等差数列｛色｝的各项均为正数，坷=3,前〃项和为Sn.｛hn]为等比数列，b=9且独=64,b.S=960.111(2)求111.SSr5,.4.已知数列｛%｝的满足条件:4=t,afl+l=2an+1。(1)判断数列[alt+1｝是否为等比数列；2〃1](2)若t=l9令c“=，记7^=C]+g+・・・+c〃，

7、证明：®cn=；②Tn<.陽勺+i〜5色+i数列递推求通项(n=l),1・禺与S的关系：已知S/贝I」，则e严z“、(n±2)・2.己知n与S”的关系求冷.3.已知a“+i与an的关系求％:一心蒔解I金缶域【例1】若数列｛如的前n项和S”=/_io〃，贝眦数列的通项公式为4严.【变式训练1】已知下列数列｛冷｝的前//项和必=2/—3小求它的通项公式如=【例2】若数列｛如的前/?项和S尸2〃+1,则此数列的通项公式为给=【变式训练2】已知数列｛如的前7?项和必=2〃一3,则数列｛如的通项公式为(2)数列｛禺｝的前〃项积为/,那么当兄M2时,an=()A

8、.2n~1(n+1)2B.n22nD・5—1)【例3】写出下面各数列｛给｝的通项公式.(1)cii=2,cin+1=如+n+1:(2)gi=1,cin+1=3cin+2z?+2(3)di=1,前"项和Sn=—^~ein，求an求Sn【变式训练3]写出下而各递推公式表示的数列｛给｝的通项公式.(1)^1=2,atl+1=an+农(”+]);(2)°i=1,d“+i=2"d“；(3)。1=1,d”+i=2d”+l.【例4】已知无穷数列｛〜｝的前斤项和为S”，并Ratt+Sn=l(neN*)f求｛化｝的通项公式【变式训练4】数列｛色｝的前77项和为S”，q=

9、l,%=2Sn(nwN，求数列血｝的通项an.P—»印芳即滋触奠昜通1、已知数列｛色｝的前〃