2011考研数学基础导学班讲义补充(汤 高等数学)

《2011考研数学基础导学班讲义补充(汤 高等数学)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、定积分一、实际问题的提出1．路程问题设物体的运动速度为，求时间上物体的运动路程。（1）取，则，记；（2）任取，则；（3）取，则。2．曲边梯形的面积问题设且，求由、、及轴所围成的曲边梯形的面积。（1）取，则，记；（2）任取，则；（3）取，则。共同特点：给定定义于一个闭区间上的函数，先把定义区间划分成若干小区间，然后在每个小区间内任取一个点，计算该点处函数的取值与该小区间的长度之积再求和，当最长的小区间的长度趋于零时求积分和的极限。二、定积分的定义设在区间上有界，取划分，则区间划分为，记；任取，作积分和；令，若极限存在，称函数在区间上可积分，极限记为，即。注解：（1）极

2、限与区间的划分及每个小区间内任意点的取法无关；（2）当时，，反之不对；（3）若在上可积，则；（4）连续函数一定可积，只有有限个第一类间断点的函数一定可积分。三、定积分的性质1、；2、；3、；4、；5、设在上可积，且，则；推论1若在区间上可积，且，则；推论2设在上可积，则；6、设在区间上，则；7、设，则存在，使得；8、（1）设，且，则在上；（2）设，且不恒为零，则；（3）设，且两个函数不恒等，则；9、（柯西不等式）设，则有。四、定积分的基本理论定理1设，令，则。定理2设在上为的一个原函数，则。五、定积分的特殊性质1、（对称区间上定积分性质）设，则有（1）；（2）若，则

3、；（3）若，则；例题3计算。解答：。2、特殊区间上三角函数定积分性质（1），其中，特别地，，且；（2）；（3）。例题4计算。例题5计算。3、（周期函数定积分性质）设是以为周期的连续函数，为任意常数，则（1）；（2）。六、定积分的应用（重点是掌握好元素法的思想）（一）几何应用1．面积2．体积3．弧长（二）几何应用七、技巧性很强的题型—定积分不等式的证明特征一：只给出被积函数具有连续性例题1设，证明：。特征二：有连续性和单调性例题2设在上连续且单调增加，证明：。特征三：一阶连续可导例题3设在上连续可导，且，证明：。例题4设，证明：。例题5设在上可积，，证明：。例题6设，

4、证明：，其中。特征四：高阶可导性（只限研二阶导数保号性）若，一般有两个思考问题的角度：思路一：若二阶导数大于零，则一阶导数具有单调性例题7设，且，证明：对任意的有。思路二：泰勒公式定理若，则有，等号成立当且仅当。例题8设，且，证明：。