2012年文都考研数学基础导学班课堂讲义(汤家风)

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1、学好线性代数学好矩阵是关键矩阵一、几个定义1、矩阵（数表）—形如称为矩阵。（1）设，若一切的，称为零矩阵，记。（2）若时，称为为方阵。（3）称为单位矩阵。（4）同型矩阵—设为两个矩阵，若的行数和列数相等，称为同型矩阵。（5）矩阵相等—设，若一切的，称与相等，记。2、矩阵的三则运算（1）加、减法设，定义；（2）；（3）设，定义，其中（）。[注解]（1），不一定有，9如，显然。特别地，不一定有，如，但。（2）。（3），情形一：如，存在，而不存在，故；情形二：如，虽然与都存在，因为与不同型，故；情形三：，与同型，但不一定相等，如，，显然。（4）因式分解问题，问是否成立？，问是否成立？答案：不一定，

2、矩阵多项式可因式分解的充分必要条件是。特别地，，定义，注意一定可因式分解，如。（5）方程组的两种形式（注意一共有三种形式）1）基本形式，称为齐次线性方程组。，9称为非齐线性方程组。令，则有2）矩阵形式，，（6）齐次线性方程组和非齐线性方程组解的情况1）齐次线性方程组解的情况有两种：只有零解和除零解外有无数个解，齐次线性方程组有无数个解本质是因为齐次线性方程组存在自由变量。2）非齐线性方程组解的情况有两种：无解和有解，其中有解又分为有唯一解和有无数个解。二、矩阵的逆阵1、问题的产生解方程（）方程两边同乘以，则，即。类似问题：设，问是否存在，若存在，如何求？猜想：是否存在，使得，则由两边左称，由

3、得。情形一：设是阶矩阵，存在阶矩阵，使得，则；情形二：设是阶矩阵，不存在阶矩阵，使得，则是否存在，如何求？情形三：设为矩阵，其中，则是否存在，如何求？2、逆阵的定义—设是阶矩阵，存在阶矩阵，使得，称为可逆矩阵，为的逆矩阵，记。3、两个问题：（1）设是阶矩阵，是否可逆？（2）设是阶可逆矩阵，如何求？4、矩阵可逆的充分必要条件定理设为阶矩阵，则可逆的充分必要条件是。附：预备知识（1）子式与代数余子式—设，9去掉元素所在的行和列余下的元素按原有的次序构成的阶行列式记为，称为元素的余式，记，称为元素的代数余子式。记住：1）（）；2）（）。（2）伴随矩阵—设，取行列式得，计算所以的，构造矩阵，称为的伴

4、随矩阵。记住：。定理的证明：“必要性”设可逆，由定义，存在，使得，取行列式得，从而，则。“充分性”设，因为，所以，根据定义得可逆且。5、逆阵的求法方法一：伴随矩阵法9方法二：初等变换法—思想体系注意：初等变换法求逆矩阵的思想体系非常重要第一步：线性方程组的三种同解变形（1）对调两个方程（事实上方程组的解与方程组中方程的排序无关）；（2）某个方程两边同乘以一个非零常数；（3）某个方程的倍数加到另一个方程，以上三种变形称为方程组的三种同解变形。第二步：矩阵的三种初等行变换（1）矩阵对调两行；（2）矩阵某行乘以非零常数；（3）矩阵某行的倍数加到另一行，以上三中变换称为矩阵的三种初等行变换，若同样三

5、种变换施加于矩阵的列，称为矩阵的初等列变换。第三步：三种初等矩阵（1）。如，。的性质1）相当于将的行与行对调；相当于将的第列与列对调，即相当于对矩阵进行第一种初等行变换及初等列变换。2）；3）（等价于）。（2）。的性质1）相当于将的行倍；相当于将的第列倍，即相当于对矩阵进行第二种初等行变换及初等列变换。（3）。9的性质1）相当于将的行加到行；相当于将的第列的倍加到列，即相当于对矩阵进行第三种初等行变换及初等列变换。[注解]证明矩阵可逆的方法方法一：定义法如：，证明可逆。证明：由得，由定义得可逆，且。又如：，证明：可逆。证明：由得，即，从而，根据矩阵可逆的定义，可逆，且。方法二：矩阵可逆的充分

6、必要条件如：为阶矩阵，，矩阵是矩阵经过行与行对调后所得的矩阵。（1）证明：可逆；（2）求。证明：（1）显然，因为，所以可逆。（2）。第四步：三个问题例子：，因为，所以可逆，9等价于。（1）设是阶矩阵，且，是否可经过初等行变换化为？答案是正确的。（2）设是阶矩阵，且，是否可经过初等行变换化为？答案是否定的，如，显然，。（3）设是阶矩阵，且，是否可经过初等变换化为？答案是肯定的。第五步：初等变换法求逆阵定理设是阶矩阵，且，则。证明：因为，所以存在初等矩阵，使得，即，显然。同时，所以。如：，，可逆，9，则。三、矩阵的秩矩阵的秩产生的背景方程组的解有如下三种情况：情形一：设是阶矩阵，且可逆，由得；情

7、形二：设是阶矩阵，但不可逆，的解情况未知；情形三：设是矩阵，但，的解的情况未知。对方程组后面两种情况的解需要引进矩阵的另一个重要特征—矩阵的秩。（一）定义—设是矩阵，任取行和列构成的阶行列式称为的阶子式，若有一个阶子式不等于零，而所有阶子式（如果有）都等于零，称矩阵的秩为，即。[注解]（1）设是矩阵，则，更进一步，。（2）设是阶矩阵，若，根据矩阵秩的定义，，称为满秩矩阵。（3）设为阶矩阵，若，称为非齐异矩阵，