2018年高考数学总复习-函数和方程

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1、第九节函数与方程考纲解读1、了解函数的零点与方程根的关系，判断方程根的存在性及根的个数2、能够根据具体函数的图像，用二分法求相应方程的近似解.命题趋势探究函数思想与方程思想是密切相关的，作为中学最主要内容的函数思想方法应用，在高考中的考查力度有加强趋势；函数的零点及二分法的思想会以选择题、填空题或解答题的形式出现，在今后的高考中，也将会加大考查力度.知识点精讲一、函数的零点对于函数『=/(x)，我们把使/(x)=0的实数x叫做函数『=/(x)的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程/(X)=0有实数根o函数y=/&)的图像与兀轴有公共点o函数y二/(

2、尢)有零点.三、零点存在性定理如果函数y=/(x)在区间［a,b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有/©)•/⑹<0,那么函数y=/(无)在区间(d,b)内有零点，即存在cw(a,b),使得.f(c)=O,c也就是方程/(x)=0的根.四、二分法对于区间上连续不断且f{a)-/(/?)<0的函数/(x),通过不断地把函数/⑴的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程/(x)=0的近似解就是求函数/(%)零点的近似值.五、用二分法求函数/(兀)零点近似值的步骤(1)确定区间肚切，验证/(€/)

3、•/(/?)<0,给定精度£・(2)求区间(a,b)的中点X］.(3)计算/(旺).若/(旺)=0,则“就是函数/⑴的零点；若/(q)・/(xj<0,则令b=x{(此时零点无()丘(0,兀J).若/⑹・/(xJvO,则令a=xl(此时零点兀()丘(州,/?))(4)判断是否达到精确度£,即若匕一句V£,则函数零点的近似值为d(或b)；否则重复第(2)—(4)步.用二分法求方稈近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.题型归纳及思路提示题型33求函数的零点或零点所在区间思路提示求函数/(x)零点的方法：(1)代数法，即求方程=0的实根，适合于宜因式分解

4、的多项式；(2)几何法，即利用函数y=/(兀)的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.例2.74求下列函数的零点：(1)f{x)=x3-2x2-x+2;(2)/(x)=x-—.X分析：令函数/(X)=0,因式分解或通分求方程f(x)=0的根，得/(X)的零点.解析：(1)有兀彳一2兀？一兀+2=(),得兀2(兀—2)—(兀一2)=0,所以(x-2)(x2-1)=0所以x=2,x=±l.故函数/(兀)的零点是2,1,-10(2)有x--=0,得兰上=0,所以d_2Xx+2)=0,所以(尢_2赧+2)=(),即XXX兀=一2或x=2,故函数/(

5、兀)的零点是・2或2.变式1(2006天津理)函数/(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()A、(-2.-1)B、(-1,0)C、(0,1)D、(1,2)变式2设A：。是方程lnx+x=4的解，则兀。属于区间()A、(0,1)B、(1,2)C、(2,3)D、(3,4)变式3设函数y=x3与歹=丄图像的交点为(兀0，九)，则％所在的区间是()(2丿A、(0,1)B、(1,2)C、(2,3)D、(3,4)变式4若a

6、、(-oo,6Z)和(a,b)内C、(b,C)和(c,+oo)内D、(-CO,Cl)和(c,+oo)内题型34利用函数的零点确定参数的取值范围思路提示：木类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.例2.75己知函数/(x)=ax'+bjc+cx+d的图像如图2—29所示，贝9()A、be(-oo,0)B、be(0,1)C、be(1,2)D^bg(2,+oo)ax/图2-29分析找11!=0的零点，利用/(x)的零点及性质建立参数关系，得出参数范围.解析由图2-29可得/(0)=0,

7、故d=0,且有3个零点，故可设/(x)=cu(x-lXx-2)=ax'一3d%2+2ax^比较已知/(x)的解析式，得“=-3a,当x>2时，f{x)>0,因此g〉0,故b<0・故选A.变式1若函数/(x)=czv-x-a(a>0冃皿工1)有两个零点，则实数a的取值范围是变式2(2011山东理16)已知函数/(兀)=log“x+x-b{a>0且aHl),当2

8、是.题型35方程根的个数与函数零点的存在性问题思路提示方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数