导数变化率的教学案例董金龙

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1、教学过程教学环节师生活动设计意图y=f(x)yo：【回顾1]学生相互交流探讨瞬时速教材53页例1度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法针对新概念创设相应的学生熟悉的问题情景，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间【回顾2]上有什么共同的关系，为学生主动建2已知曲线c是函数f(x)4.9x6.5曲线上点p(o,y)x处的切线斜率.ox10的图象，求【思考】对瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处?之处.构新知提供自然的生长点•S□□究象体研对物间时個求A求平孙求AAA法方

2、解AA一一宙O•?-t时在瞬体飢物f量增——f亠芟Urtimt。wAht~求瞬时速度速增昌LbA田3想的极限A-AA-A=例^>vh(-H一一ph度-豆艮np极割线曲线上求割线的求切线的斜率斜率极限运刃具位私探体体规禅子曲线

3、量X煮X°限求横坐标求纵坐标点处切线X的斜率脱增y形般函数情y=f(x)函数在XX0处的变化率•教师【师生活动】将学生分成若干学习小组，以表格为载体为师生、生生互动搭起积极交流的探究平台念心'巡视，鼓励学生参与，对个别学有困难的小组加以指导•探究后，共同归

4、纳得出：两个问题的解决在方法、本质、思想上都有相同之处•一个是“位移改变量与时间改变量之比”的极限，一个是“纵坐标改变量与横坐标改变量之比”的极限•如果舍去它们的具体含义，都可以概括为求平均变化率的极限【设计意图】给学生创设探究的平台，分析瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，讨论解决这两个问题的方法、本质、思想上有什么共同之处，引导学生分析、观察、归纳，打通揭示事物本质的思维通道教学内容师生活动设计意图环节引导学生利用求瞬时速度的方法用具体②类比迁移形成概念和思想类比探究，猜想得出函数在点到抽象，特殊I函

5、之极怎在类比探V电考】考虑求一般x?iiXo+x处的变lim数y=f（x）在点％0化率0xOX'可的平均变化率的眼问题，也就是■■f(x样计算函数二■亠lim0小X处的变化率？x00忆般辭式'X)XUU)0,并对转化判引出导数定义后,回归问题情景，反思概念的“原型”解释“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质.③剖析概念加深理解【探讨1］怎样判断函数在一点是否可导？+A-►A—>A判断函数yf（x）在点x处是否可导o・f(xx)f(x)切imoo臥X占0工?示赶否存在A4AX【探讨2］导数是什么？描述角

6、度文字语言瞬时变化率符号语言ylimX0X图形语言（切线斜率）瞬时坛度迸行类比曲，自然引出函猜想的合理性进行分析后，引出定义1:（函数在一点处可导及其导数）组织学生阅读“导数”定义，抓住定义中的关键词“可导”与“导数”交流探讨，然后通过师生互动挖掘这些概念之间的深层含义・分析导数的本质后，同时简单拆及导数产生的时代背景・数在一点处可导和导数的概念•由具体到抽象再回到具体的过程，感知上升到了理性，强化了对概念的理解・引导学生以数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的理解、把握、运用为涵与外延，提高学生数

7、学阅读和自主学习的能力・让学生感的熏陶，了解导数的文化价值、科学价值和应用价值.师生活动设计意图【探讨3］求导数的方法是什么？类比探让学生类比瞬时速度的问题，根据导数定义归纳出求函数y一f(x)在点Xo处导数的方法步骤：(1)求函数的增量；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数・索形成概念用定义法求导数是本课的重点之一•有了可导这个逻辑基础，导数成为可导的自然结果，求导数的方法则是对导数概念的理解与应用•让学生积极主动参与，进行有意义的建构，有利于重点知识的掌握・【例1］求函数yX在点x1处的导数.学

8、生动手解答，老师强警号语言的规范使用，对诸如/J(X)写括号的现象加以纠正・本题是教材上的一道例题•在学生建立起导数概念，明确用定义求导数的方法之后，进行强化训练，渗透算法思想，加深对导数概念的理解，强化对重点知识的巩固・引申拓展利嗚列1继续複问，函数咅X1处可导,那么x・1,x2,x3这些点也可导吗？从而引申拓展岀定义2：(函数在开区间(a,b)内可导)【探讨11函数在开区间内可导，那么对于每一个确定的值，都有唯一确定的导数值与之相对应，这样在开区间内存在一个映射吗?【探讨2］存在的这个映射是否构成一

9、个新的函数呢？若能，新函数的定义域和对应法则师生互动，共同探讨归纳函数在开区间(a,b)的每一点可导，每一点就有确定的唯一的导数•这样在开区间(a,b)内构成一个特殊的映射，这里的映射是数集到数集的映射，就是函数，我们把这个新函数叫做f(x)在开区间通过层层展开的探讨，激活学生知识思维的“最近发展区”，引导学生主动将新问题与原认知结构中函数的相关知识相联系，自然引入导函数概念，从而完成祕函数在一点可导函数在开区间内可导函数在开区间内的导函数