初高中衔接数学专题八三角形“四心”定义与性质

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1、三角形“四心”定义与性质所谓三角形的是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形吋，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。AABC的外心一般用字母0表示。性质：1.外心到三顶点等距，即OA=OB=OC。2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即0D丄BC,OE丄AC,OF丄AB・1,113.za=-zboc,zb=-zaoc#c=—-AOB222二、三角形的内心义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心。AABC的内心一般用字母I表不，它具有如下

2、性质：性质：4.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。12•三角形的面积=-x三角形的周长x内切圆的半径・23.AE=AF,BF=BD,CD=CE；AE+BF+CD=三角形的周长的一半。4.ZBIC=90ZCIA=90+_ZB,-^AIB=90+~ZCo222三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫垂心。AABC的垂心一般用字母H表示。性质：1＞顶点与垂心连线必垂直对边，即AH丄BC.BH丄AC,CH丄AB。四、三角形的’重F:定义：三角形三条中线的交点叫重心。△ABC的重心一般用字母G表/JiO性质：1.顶点与重心G的连线必平分对

3、边。2•重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。即GA=2GD,GB=2GE,GC=2GFLB三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心•三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点•2：1.A例1求证三角形的三条屮线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为已知D、E、F分别为VABC三边BC、CA、AB的中点，求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等•例2己知“ABC的三边长分别为BC=

4、a,AC=b,AB=c,I为AABC的内心，且I在AABC的边BC、AC、AB±的射影分别为D、E、F，求证：AE=AF证明.4例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形已知0为三角形ABC的重心和内心.求证三角形ABC为等边三角形.证明正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.