物理 高中：高中物理奥赛资料汇编 3.2量子力学初步

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1、§3、2量子力学初步3．2．1、物质的二象性①光的二象性：众所周知，光在许多情况下（干涉、偏振、衍射等）表现为波动性，但在有些情况下（如光电效应、黑体辐射等）又表现为粒子字。因而对光完整的认识应是光具有波粒二象性。一个光子的能量：E=hvv是光的频率，h是普朗克常数光子质量：光子动量：②德布罗意波德布罗意把光的波粒二象性推广到实物粒子。他认为，波粒二象性是一切微观粒子共有的特性。第一个实物粒子在自由运动时所具有的能量为E、动量为p，这样的自由粒子必定对应一个振动频率为v、波长为λ的平面简谐波。这两组特征量之间的关系仍

2、是自由的实物粒子所对应的平面简谐波常称为物质波或德布罗意波，它的客观真实性已为许多实验所证实。8物质波的物理意义究竟是什么？波是振动状态在空间传播形成的，波在空间某处振动状态的强弱可用该处振幅的平方米来表征。对于光波，若某处振幅平方较大，则该处的光较强，光子数较多，这也意味着光子在该处出现的可能性较大，物质波也是如此。物质波若在某处振幅的平方较大，则实物粒子在该处出现的可能性较大，可能性的大小可定量地用数学上的概率大来表述，物质波各处振幅的平方便与粒子在该处出现的概率联系起来，这就是物质波的物理意义。例1、试估算热中

3、子的德布罗意波长。（中子的质量）热中子是指在室温下（T=300K）与周围处于热平衡的中子，它的平均动能它的方均根速率，相应的德布罗意波长这一波长与X射线的波长同数量级，与晶体的晶面距离也有相同的数量级，所以也可以产生中子衍射。3．2．2、海森伯测不准原理设一束自由粒子朝z轴方向运动，每一个粒子的质量为m，速度为v，沿z轴方向的动量P=mv。这一束自由粒子对应一个平面简谐波，在与z轴垂直的波阵面上沿任何一个方向（记为x方向）的动量取精确值。波阵面上各处振幅相同，每一个粒子在各处出现的概率相同，这意味着粒子的x位置坐标可

4、取任意值，或者说粒子的x位置坐标不确定范围为。为了在波阵面的某个x位置“抓”到一个粒子，设想用镊子去夹粒子。实验上可等效地这样去做：在波阵面的前方平行地放置一块挡板，板上开一条与x轴垂直的狭缝，狭缝相当于一个并合不够严实的镊子。如果狭缝的宽度为△x，那么对于通过狭缝的粒子可以判定它的x位置不确定范围为△8x。△x越小，通过狭缝粒子以x位置就越是确定。然而问题在于物质波与光波一样。通过狭缝即会发生衍射，出射波会在缝的上、下两侧散开，或者说通过狭缝的粒子既有可能继续沿x轴方向运动，也有可能朝x轴正方向或负方向偏转地向前运

5、动。偏向的粒子必对应地取得x方向的非零动量，即有，这表明出射粒子在x方向的动量不再一致地为，因此x方向动量有不确定性，不确定范围可记为。缝越窄，△x越小，粒子的x位置越接近准确，但衍射效应越强，越大，粒子的x方向动量值越不准确。反之，缝越宽，△x越大，粒子的x位置越不准确，但衍射效应越弱，越小，粒子的x方向动量值越准确。总之，由于波动性，使粒子的x位置和x方向动量不可能同时精确测量，这就是测不准原理。由近代量子理论可导出△x与之间的定量关系，这一关系经常可近似地表述为：h对y和z方向，相应地有：,有时作为估算，常将上

6、述三式再近似取为：8在经典力学中，运动粒子任意时刻的位置和动量或者说速度都可以精确测定，粒子的运动轨道也就可以确定。在量子理论中，运动粒子在任意时刻的位置和动量或者说速度不能同时精确测定，粒子的运动轨道也就无法确定。微观世界中，粒子的运动轨道既然不可测，也就失去了存在的意义。如在经典力学中，可以说氢原子中的电子绕核作圆轨道或椭圆轨道运动。在量子力学中，只能说粒子在核周围运动，某时刻电子的位置可能在这里，也可能在那里。描述这种可能性的概率有一个确定的分布。即使在这一时刻于某一位置“捕捉”到了该电子，也不能预言下一时刻该

7、电子会出现在什么位置，因为电子的运动没有可供预言的轨道。经典力学中一个粒子可静止在某一确定的位置，量子力学则否定了这种可能性。据测不准原理，如果一个粒子在x、y、z坐标完全确定，即△x=△y=△z=0，那么它的x、y、z方向动量均不可为零，否则，与上面给出的关系式显然会发生矛盾。例2、实验测定原子核线度的数量级为。试应用测不准原理估算电子如被束缚在原子核中时的动能。从而判断原子核由质子和电子组成是否可能。取电子在原子核中位置的不确定量，由测不准原理得由于动量的数值不可能小于它的不确定量，故电子动量考虑到电子在此动量下

8、有极高的速度，由相对论的能量动量公式故电子在原子核中的动能。理论证明，电子具有这么大的动能足以把原子核击碎，所以，把电子禁锢在原子核内是不可能的，这就否定了原子核是由质子和电子组成的假设。3.2.3量子力学的基本规律——薛定谔方程8波函数是描写微观粒子的基本物理量，波函数所遵从的规律，就是量子力学的基本规律，它将决定粒子函数的特征，从而决定粒子