第四章约束非线性规划

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1、第四章约束非线性规划(ConstrainedNonlinearProgramming)§4.1约束最小化条件研究有约束非线性规划问题最优解所必须满足的必要和充分条件，这是约束最优化算法的基础。4丄1约束和切平面非线性规划问题的一般形式min/(x)s.t.力(x)=0i=1,••诃z、c(4.1)gj(x)50j=…,PxeQuE"兀维空间的全体或一部分可行解集{xh{(x)=0,gj(x)<0,Vij}在E"中满足约束条件的点称为可行点，在可行区内任一点x*对不等式约束，若gj(x)=0则第丿个约束g/x)<0被称为主动约束，否则为被动

2、约束。对等式约束，若/?7(x)=0被认为是主动约束。T邻域的函数特征只受主动约束的影响，所以研究两数局部最小问题应把注意力集屮在主动约束上。定义：约束=0i=构成一个超曲面S={x/?,(x)=0Vz}超曲面上的一根曲线，应满足x(r)GSa

3、平面用形成约束面S的各个约束函数仏(兀)的导数来定义,切平面M为M={y:V/?(x*)j=0}。力13/?i■J■■■dx2■■■■■■=0(4.2)••dx{mxnkJnx规则点(regularpoint)：点x*满足约束(x*)=0,i=l,…,m,如若W(x*),VA2(x*),・・•,Vhm(x*)是线性独立的，则T是规则点。定义：若T是由/iz(x)=0Z=l,…，加定义的超曲面S上的一个规则点，那么M={y:Vh(xf)y=0}定义了过•^的S上的切平面，x(0)=y,y包括了St过0点曲线之切线的总和，即切平面

4、。4.1.2等式约束下最优解的必要和充分条件研究可行点x*的主动约束，在等式约束下函数最优解的必要和充分条件。定理：若T是约束/2(x)=0的规则点和承受这些约束的函数/(X)的极值点，那么对满足=0的丿wE"也必须满足V/*(x*)j=0o证：T是约束/?(x)=0的规则点，过T约束曲面的切平面是向量y的集合。V/i(x=0参变量(=0时，曲线过T点，即x(0)=x*,过T曲线的切线x(0)=y,该曲线应满足下列关系。/i(x(r))=0T是函数/(x)的极值点，那么期(x⑴)二。山/=oV/(^)x(0)=0即V/-(x*)j=0(4.

5、3)定理：若T是函数/(T)在承受约束/?(x)=0条件下的局部极值点，假设T是约束"(x)的规则点，那么存在一组乘子z=rn,Em,且使下式成立V/(x)+^V/?(x)=0证：T是约束/?(x)=0的规则点，在约束切平面上的向量丁应满足Vh(x')y=0T是函数/(x+)的极值点，它应满足^f(x)y=Q这说明V/z(x*)和都和切平面垂直，也就是说V/?(x*)和Y/(T)线性相关，即有一组加个不全为零的乘子Em，使下式成立(4.4)vy(x)+^v/?(x)=o吋审dfI,■■■,3%]dx2dxn3/1,••dx2•■••■•••

6、0兀1+(人‘22…乂”)曲lxnmxn推论：函数/(*)具有局部极值点的一阶必要条件JV/Xx^+xV/iCx")=0[h(x)=0共有n+m个方程。可解比个无，加个兄未知数，也可以形成一个新的Lagrange函数l(x,2)=/(X)+Ah(x)J=1其无约束极值化条件V/t(x,2)=0即Vf(x)+2Vh(x)=0VlA(x,2)=0即h(x)=0定义：函数/(x)具有局部约束极值点的二阶必要条件若T是局部约束极值点，是约束h(x)=0的规则点，则存在一组xgE,n,使V/X)+^V/?(x)=0(4.5)若M={y^h(x")y=

7、0}V^/(x,2)=V2/(x*)+V2/z(x*)2则yV2x.l(x,A)y>0yeM(4.6)即V；Z(x,2)在切平面上半正定。定义：函数于(兀)具有局部约束极值点的二阶充分条件假设对点T存在一组2；aeEm,满足下式j/z(x*)=0代心)+/心)=0同时假设V;/(x,A)在切平面上正定，即j/V；心,A)y>0M={j

8、V/t(x*)j=0}yeM那么，T是函数/(x)在约朿h(x)=0条件下的严格局部最小点。Lagrange乘子的含义非线性规划问题min/(x)s.t./z(x)=0T为最优解，T还是约束的规则点。考虑约束

9、条件的微小变化式(4.9)变为min/(x)s.t.h(x)=cceEmc是小量，X是c的函数(4.7)(4.8)(4.9)(4.10)X(c)x(0)=x(4.11)甘(x(c