第14讲函数的综合应用

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1、第14讲函数的综合应用伟大的数学家，诸如阿基米德、牛顿和高斯等，都把理论和应用视为同等重要而紧密相关.菲里克斯•克莱因知识方法扫描函数的综合应用包括两个方面：函数型应用题和综合运用代数、几何各个方面的知识来解答函数问题。函数型应用题是对函数知识的高级应用，能深入考查学生对应用题中量的依存关系的理解，及能否对问题本身的数量特征和制约关系进行函数式的动态刻划。解决函数应用题的关键是运用函数的思想提取问题的函数特征，抽象其数量特征，建立函数关系型数学模型；通过对问题的观察分析，判断比较深入全面，才能构造出函数原型，从而化为函数问题，使问题最终得解决。有一些竞赛题，把函数与平面几何综合在一起，即在平面

2、直角坐标系中，研究直线、抛物线、双曲线与三角形、四边形、圆之间的关系，从而沟通了代数、三角、几何间的内在联系.这类题综合性强，需要灵活运用所学知识来解决.经典例题解析例1(1998年全国初中数学竞赛试题)A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。(1)设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W(元)关于兀(台)的函数关系式，并求W的最大值和最

3、小值。(2)设从A市调兀台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后,用x、y表示总运费W(元)，并求W的最犬值和最小值。解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x,x,18-2x,发往E市的机器台数分别为10-x,10-x,2x-10.于是W=200x+300x+400(18-2x)4-800(10・x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x+17200・又严日°即(0X10,[0<18-2x<&[5SS9,5

4、5时，W取到最大值13200元.(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x,y,18-x-y,发往E市的机器台数分别是10-x,10-y,x+y-10,于是W=200x+800(10-x)+300y+700(l0-y)+400(l9・x・y)+500(x+y・10)=-500x-300y-172000

5、+17200=9800.当x=10,y=8时,W=9800.所以，W的最小值为9800.又W=-200x-300(x+y)+17200W-200X0-300X10+17200=14200・当x=0,y=10时,W=14200,所以，W的最大值为14200.例2(1997年天津市初中数学竞赛试题)己知函数y=x2-

6、x

7、-12的图象与x轴相交于相异两点A,Bo另一抛物线y=ax2+bx+c过点A,B,顶点为P且ZXAPB是等腰直角三角形，求a,b,c.解令x2-

8、x

9、-12=0,即(

10、x

11、-4)(

12、x

13、+3)=0,而

14、x

15、+3>0,于是

16、x

17、-4=0,x=±4.A,B两点的坐标为(4,0),(-

18、4,0)o因y=ax?+bx+c过点A,B,可设y=a(x+4)(x・4)①因AAPB是等腰直角三角形，故P点坐标为(0,4咸(0<4).将(0,4)代入①，得a=,y=(x2-16)=x2+4,故b=0,c=4.444将(0,-4).代入①，a=—,y=—(x2-16)=—x2-4,故b=0,c=・4.444例3(2006年“信利杯”全国初中数学竞赛广西赛区初赛试题)--张矩形纸片OABC放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在兀轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5,004。(1)如图，将纸片沿CE对折，使点B落在x轴上的点D处，求D点的坐标。(2)在(1)中，设BD与CE的交点为P,

19、如果点B、P在抛物线j=x2+加+c上，求b、c的值。(3)如果将矩形纸片沿某直线/对折，使点B落在坐标轴上的点F处，且BF与/的交点Q恰好落在(2)的抛物线上。除了上述的点D夕卜，这样的点F是否存在？如果存在，求出点F的坐标，如果不存在，请说明理由。解(1)OD=VcD2-OC2=V52-42=3,所以点D的的坐标为(3,0)。(2)由折叠知，CE垂直平分BD,P是BD的中点，过点P作OA的平行