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1、函数与导数大题一、切线及几何意义1（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．解（Ⅰ）因又在x=0处取得极限值，故从而21世纪教育网由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令（1）当（2）当K=1时，g（x）在R上为增函数（3）方程有两个不相等实根3921世纪教育网当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数2（2009北京理）（本小题共13分）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）
2、求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，39（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.3（08海南）设函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；
3、（2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。（Ⅰ），于是解得或39因，故．(II)证明：已知函数都是奇函数，所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。而函数。可知，函数的图像按向量a=(1,1)平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点（1，1）为中心的中心对称图形。（III）证明：在曲线上任一点.由知,过此点的切线方程为.令得,切线与直线交点为.令得,切线与直线交点为.直线与直线的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为.所以,所围三角
4、形的面积为定值2.4．(06重庆卷)已知函数,其中为常数. （Ⅰ）若,讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若,且,试证：－6≤b≤2.3918..（2009江苏卷）(本小题满分16分)设为实数，函数.(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分（1）若，则（2）当时，当时，39综上（3）时，得，当时，；当时，△>0,得：讨论得
5、：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.二、恒成立问题5.已知.（Ⅰ）当时，判断在定义域上的单调性；（Ⅱ）若在上的最小值为，求的值；（Ⅲ）若在(1,+)上恒成立，试求的取值范围.解：由题意得，且（1）显然，当时，恒成立，在定义域上单调递增；（2）当时由（1）得在定义域上单调递增，所以在上的最小值为，即（与矛盾，舍）；39当，显然在上单调递增，最小值为0，不合题意；当，，若（舍）；若（满足题意）；若（舍）；综上所述．（1）若在(1,+)上恒成立，即在(1,+)上恒成立,(分离参数求解)等价于在(1,+)恒成立，令.；令，则显然当时，在(1,+)
6、上单调递减,,即恒成立,说明在(1,+)单调递减,；所以在(1,+)上恒成立，所以.6（08天津卷21）（本小题满分14分）已知函数（），其中．39（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：．当时，．令，解得，，．当变化时，，的变化情况如下表：02－0＋0－0＋↘极小值↗极大值↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．（Ⅱ）解：，显然不是方
7、程的根．为使仅在处有极值，必须成立，即有．解些不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．（Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．当时，；当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．39为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．所以，因此满足条件的的取值范围是．7.（06全国-1）设函数，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．例1.．解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……5分(i)
8、当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即
