高考数学复习专题讲座 函数的图像及性质的应用

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1、2008年银川二中数学第二轮复习资料陈伟强题目高考数学复习专题讲座函数的图像及性质的应用课程标准：5．函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够借助计算器运用二分法求方程的近似解.(3)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.典型题例示范讲解例1　函数和的图象的交点有（　　）．　　（A）1个　　　　（B）2个　　（C）3个　　　　（D）4个　　解析：在同一坐标系中，分别作出两函数的图象，如图.在直线x=1左侧的那个交点十分容易发现，在其右侧有无交点呢？若有，是1个还是2个（其他情况不

2、可能）？通过图象很难断定，下面我们利用存在零点的条件来解决这个问题.两函数图象的交点的横坐标就是函数的零点，其中，所以在直线x=1右侧，函数有两个零点．一个在（1，2）内，一个在（2，4）内，故函数共有3个零点，即函数和的图象有3个交点，故选（C）．点评：熟记基本函数的大致图像，掌握函数作图的基本方法(1)描点法列表、描点、连线；(2)图像变换法平移变换、对称变换、伸缩变换等例2对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=

3、0恰好有四个不同实根，求这些实根之和(1)证明设(x0,y0)是函数y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0),∵=a,　∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称，又f(a+x)=f(a－x),∴f(2a－x0)=f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,∴(2a－x0,y0)也在函数的图像上，故y=f(x)的图像关于直线x=a对称(2)解由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图像关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，若x1是f(x)=0的根，则4－x1也是f(x)=0的根，∴x0+(

4、4－x0)+x1+(4－x1)=8即f(x)=0的四根之和为8点评：本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题，数形结合、等价转化第4页　共4页　2008年银川二中数学第二轮复习资料陈伟强例3已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图，求b的范围解法一观察f(x)的图像，可知函数f(x)的图像过原点，即f(0)=0,得d=0,又f(x)的图像过(1，0)，∴f(x)=a+b+c……①又有f(－1)＜0,即－a+b－c＜0　…………②①+②得b＜0,故b的范围是(－∞,0)解法二如图f(0)=0有三根0,1,2，∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(

5、x－2)=ax3－3ax2+2ax,∴b=－3a,∵当x>2时，f(x)>0，从而有a>0,∴b＜0故b的范围是(－∞,0)点评：函数的图像与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用例4已知函数f1(x)=,f2(x)=x+2,(1)设y=f(x)=，试画出y=f(x)的图像并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数a的范围(3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，］，求b的值解(1）y=f(x)=的图像如图所示y=

6、f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体是由一个半径为1的半球及底面半径和高均为1的圆锥体组成，其表面积为(2+)π(2)当f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时，a的取值范围为2－＜a≤1(3)若f1(x)>f2(x－b)的解集为［－1，］，则可解得b=点评：高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像的掌握函数图像变化的一般规律，能利用函数的图像研究函数的性质学生巩固练习1当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图像只可能是()1解析∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba为底的指数函数仔细观察题目中的直线方程可知在选择支B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a＜

7、0,b>1,∴0＜ba＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴ba>1故选择支B、C、D均与指数函数y=(ba)x的图像不符合答案A2某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()第4页　共4页　2008年银川二中数学第二轮复习资料陈伟强2解析由题意可知，当x=0时，y最大，所以排除A、C又一开始跑步，所以直线随着x的增大而急剧下降答案D3.函数f(x)=1+log2x与在同一直角坐标系下的图象大致是(C)4.函数y＝f(x)