1.3.1函数的基本性质 单调性

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1、1.3函数的基本性质———单调性请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y值；图（2）中的y值。2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y值；图（2）中的y值。增大增大增大减小3、分别指出图(1)、图(2)中，当x∈[0，+∞)和x∈(－∞，0)时，函数图象是上升的还是下降的？4、通过前面的讨论，你发现了什么？结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，则函数值y随x的增大而增大，反之亦真；若一个函数在某个区间内图象是下降的，则函数值y随x的增大而

2、减小，反之亦真。观察某城市一天24小时气温变化图．θ＝f(t)，t∈[0，24]问题：如何描述气温θ随时间t的变化情况？(t1,θ1)(t2,θ2)t1t2问题：在区间[4，14]上，如何用数学符号语言来刻画“θ随t的增大而增大”这一特征？如图，研究函数θ＝f(t)，t∈[0，24]的图象在区间[4，14]上的变化情况．在[4，14]上，取几个不同的输入值，例如t1＝5，t2＝6，t3＝8，t4＝10，得到相对应的输出值θ1，θ2，θ3，θ4．在t1＜t2＜t3＜t4时，有θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在[

3、4，14]上，θ随t的增大而增大．tθO取区间内n个输入值t1，t2，t3，…，tn，得到相对应的输出值θ1，θ2，θ3，…，θn，在t1＜t2＜t3＜…＜tn时，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn，所以在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大．在[4，14]上任取两个值t1，t2，只要t1＜t2，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大．问题：设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA,在区间I上，y随x的增大而增大，该如何用数学符号语言来刻画呢？在[4，14]上内任取两个值t1，t2

4、，只要t1＜t2，就有θ1＜θ2，就可以说在区间[4，14]上，θ随t的增大而增大．函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函数，区间I称为函数y=f(x)的单调增区间.问题：如何定义单调减函数和单调减区间呢？函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数，

5、区间I称为函数y=f(x)的单调减区间.1.函数y＝f(x)，x∈[0，3]的图象如图所示．Oxy123区间[0，3]是该函数的单调增区间吗？概念辨析2.对于二次函数f(x)＝x2，因为－1，2∈(－∞，＋∞)，当－1＜2时，f(－1)＜f(2)，所以函数f(x)＝x2在区间(－∞，＋∞)上是单调增函数．3.已知函数y＝f(x)的定义域为[0，＋∞)，若对于任意的x2＞0，都有f(x2)＜f(0)，则函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上是单调减函数．yxOx2f(x2)判断yx10x2xf(x1)f(x2

6、)设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数一、增函数如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.yf(x1)f(x2)x10x2x设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)

7、在这个区间上是减函数二、减函数三、单调性与单调区间请问:在单调区间上增函数的图象是__________,减函数的图象是__________.(填“上升的”或“下降的”)上升的下降的想一想：如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域内的某个单调区间上是增函数还是减函数？如果这个函数在某个单调区间上的图象是上升的，那么它在这个单调区间上就是增函数；如果图象是下降的，那么它在这个单调区间上就是减函数。1、增函数、减函数的三个特征：（1）局部性：也就是说它肯定有一个区间。区间可以是整个定义域，也可以是其真子集，因

8、此，我们说增函数、减函数时，必须指明它所在的区间。如y=x+1(X∈Z)不具有单调性（2）任意性：它的取值是在区间上的任意两个自变量，决不能理解为很多或无穷多个值。（3）一致性增函数：f()f()减函数：f()＞f()。＜＜＜例1.下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数?解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[