选修4-2 矩阵与变换

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1、选修4-2矩阵与变换1．已知矩阵A＝，B＝，C＝，求满足AXB＝C的矩阵X.解AXB＝C，所以(A－1A)XB·B－1＝A－1CB－1而A－1AXB·B－1＝EXBB－1＝X(BB－1)＝X，所以X＝A－1CB－1因为A－1＝，B－1＝，所以X＝A－1CB－1＝＝＝.2．设圆F：x2＋y2＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)对应的变换下变换成另一图形F′，试求变换矩阵M及图形F′的方程．解∵＝＝，∴M＝.∵圆上任意一点(x，y)变换为(x′，y′)＝(x＋2y，y)，[来源:Z#xx#k.Com]∴，即.∵x2＋y2＝1，∴(x′－2y′)2＋(y′)2＝1.

2、即F′的方程为(x－2y)2＋y2＝1.(1)求实数a、b、c、d的值；(2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．解　(1)由题设得：解得(2)∵矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)，∴可取直线y＝3x上的两点(0，0)，(1，3)，得点(0，0)，(1，3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0，0)，(－2，2)．从而，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y＝－x.4．已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝，求矩阵A.解　由特征值、特征向量定义可知，Aa

3、1＝λ1a1，即＝－1×，得同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.因此矩阵A＝.5．设矩阵M＝(其中a>0，b>0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a、b的值．解　(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，则MM－1＝.又M＝.∴＝.∴2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，故所求的逆矩阵M－1＝.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，即又点P′(x′，y′)在曲线

4、C′上，∴＋y′2＝1.则＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故又a>0，b>0，∴6．给定矩阵M＝，N＝，向量α＝.(1)求证：M和N互为逆矩阵；(2)求证：向量α同时是M和N的特征向量；(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值．解(1)证明：因MN＝＝，且NM＝＝，所以M和N互为逆矩阵．(2)证明：因为Mα＝＝，所以α是N的特征向量．因为Nα＝＝，所以α是N的特征向量．(3)由(2)知，M对应于特征向量的特征值为1，N对应于特征向量的特征值也为1，故1是矩阵M和N的一个公共特征值．