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《高一讲义4-函数图象和性质应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第四讲函数图象和性质应用(2)【基础知识回顾】1.偶函数的定义如果对于函数y=/(x)的定义域内的任意一个x,都有/(-X)=/(x),那么称函数y=/(%)是•(1)注意“任意”、“都有”等关键词；(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个X都必须成立.2.奇函数的定义如果对于函数J=/(X)的定义域内的任意一个兀，都有,那么称函数y=/(X)是奇函数.3.函数图象与奇偶性奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称.4.函数奇偶性证明的步骤(1)考察函数的定义域是否关于“(T对称；(2)计算/(-%)的解析式，并考察其与/(X)的解析式的关系；
2、(3)下结论.【例题精讲】1•判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性：(l)/(x)=x34-x；(2)/(X)=3x4-1；(3)/(x)=x6+x4+8,xe[-2,2)；(4)f(x)=0；(5)f(x)=2x4+3x2.思路分析：函数的奇偶性的判断和证明主要用定义.答案解析：(1)函数f(x)=x3+x的定义域为R,关于原点对称，且/(一兀)=(一兀)'+(-x)=-[x3+x]=-f(x),所以该函数是奇函数.⑵函数/(%)=3x4-1的定义域为R,关于原点对称,/（一兀）=3（-x）+1=—3兀+1H/（兀）且/（-x）H-/（X）,
3、所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，即是非奇非偶函数.(3)函数/(x)=x6+x4+8,xg[-2,2)的定义域为[-2,2)不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数.⑷函数f(x)=0的定义域为R,关于原点对称，f(-x)=0=/(x)=-/(x),所以该函数既是奇函数乂是偶函数.(1)函数/(兀)=2兀4+3d的定义域为R,关于原点对称，又/(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x),所以该函数是偶函数.1•根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值【例2】已知函数=/(x)是定义域为R的奇函数，求/(0)的值.答案解析:Vy=/(x
4、)是定义域为R的奇函数,A/(-x)=-/(%)对任意实数兀都成立,把*0代入/(-x)=-/(x),得/(0)=-/(0),A/(0)=0.2•已知函数的奇偶性求参数值【例3】已知函数/(x)=(m-2)x2+(7W-l)x+3是偶函数,求实数加的值.答案解析:V/(x)=(^-2)x2+(m-l)x+3是偶函数,A/(-X)=/(%)恒成立,即(加-2)(—兀)2+(m-1)(—兀)+3=(m-2)x2+(加—1)兀+3恒成立，2(m—l)x=0恒成立，二〃2—1=0,即m=.3•构造函数的奇偶性求函数值【例4】已知函数/⑴"+衣+坎-8若f(—
5、2)=10,求/⑵的值.思路分析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得的值，而两个口变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题.答案解析：方法一：由题意得/(-2)=(-2)5+6/(-2)3+h(-2)-8,①/(2)=25+6zx23+/?x2-8,②①+②得/(—2)+/(2)=—16.・・・/(-2)=10,・・・/(2)=-26.方法二：构造函数g(x)=/(x)+8,则g(x)=『+o?+加一定是奇函数又・・・/（—2）=10,・・・g（-2）=18.因此g（2）=_18,所以/（2）+8=_18,即/（2）=-26.1
6、.函数的单调性和奇偶性的综合应用【例5】已知）弓（兀）是奇函数，它在（0,+8）上是增函数，且/U）vO,试问：F（x）=—!—在/（兀）（—□0,0）上是增函数还是减函数？证明你的结论思路分析：根据函数单调性的定义，可以设七＜兀2＜0,进而判断F（xO-Fte）=—-—=f（兀2）一/（召）符号心）f（x2）/a）+/（七）答案解析：F（兀尸一!一在（一a0）上是减函数.证明如下：/⑴任取X1，尤2丘（—°°，0）,且X]＜X2，则一兀1＞—血＞0.因为》=几兀）在（0,母]上是增函数，且7W＜0,所以一兀2）勺（一兀1）＜0,①又因为7U）是奇函数
7、，所以x2）=—几兀2），几一七）刁（七）・②由①②得沧2）初山）＞0,d11/（x2）-/（%.）于是FU1）-F（x2）==八2丿八》＞0,/（坷）/（兀2）/（州）+/（兀2）所以F（x）=—^—在（一8,0）上是减函数./（X）6•利用函数奇偶性求函数解析式【例6】已知/（%）是定义域为R的奇函数，当x＞00j",j[x）=xx—2,求当兀＜0时，70）的解析式.答案解析：设x＜0,则一兀＞0且满足表达式y（x）=x
8、x—2
9、,所以夬―x）=~x~x~2=—xx+2.又/U）是奇函数，所以./（—x）=—/（兀）•所以一/W=—邓汁
10、2
11、,所以Xx）=x
12、x+2
13、.故当x＜0时，7U）表达式为J（x）=xx+2.【例7】定
