连续时间傅里叶变换

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1、信号的频域分析连续非周期信号的频域分析常见连续时间信号的傅立叶变换对连续时间Fourier变换的性质离散非周期信号的频域分析常见离散时间信号的傅立叶变换对离散时间Fourier变换的性质连续时间傅里叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换频谱函数与频谱密度函数的区别傅里叶反变换非周期矩形脉冲信号的频谱分析我们回忆一下：注：注：为傅里叶级数的系数（频谱系数）当T0趋于无穷时，周期信号则变成了非周期信号1．从傅立叶级数到傅立叶变换讨论周期T增加对离散谱的影响：周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为T趋于无穷大时，傅里叶系数趋于无穷小，为了描述非周期信号的频谱

2、特性引入了频谱密度的概念，也就是傅里叶变换。物理意义:F(jw)是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周期信号的频谱密度函数，为了和傅立叶级数统一，也简称频谱函数。单位频率因为：称为：傅里叶变换2.频谱函数与频谱密度函数的区别(1)周期信号的频谱为离散频谱，非周期信号的频谱为连续频谱。(2)周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波分量的复振幅非周期信号的频谱为TCn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。两者关系：物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为，复振幅为[F()/2p]d的复指数信号ejwt的线性组合。T,记nw

3、0=w,w0=2p/T=dw,3.傅里叶反变换傅立叶正变换：傅立叶反变换：符号表示：狄里赫莱条件注意：对于傅立叶变换，狄里赫莱条件是充分不必要条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（充分非必要条件）（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些点必须是有限值。[例题]试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数[解]非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为由傅立叶正变换定义式，可得分析：2.周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得3.信号在时域有限，则在频域将无限延续。4.信号的频谱

4、分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。5.脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。1.非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。常见连续时间信号的频谱常见非周期信号的频谱(频谱密度)单边指数信号双边指数信号e-

5、t

6、单位冲激信号(t)直流信号符号函数信号单位阶跃信号u(t)常见周期信号的频谱密度虚指数信号正弦型信号单位冲激序列1.常见非周期信号的频谱(1)单边指数信号幅度频谱为相位频谱为单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱(2)双

7、边指数信号e-

8、t

9、幅度频谱为相位频谱为(3)单位冲激信号δ(t)单位冲激信号及其频谱(4)直流信号直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限的方法求出其傅里叶变换。对照冲激、直流时频曲线可看出:时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号及其频谱（5）符号函数信号符号函数定义为符号函数的幅度频谱和相位频谱(6)单位阶跃信号u(t)单位阶跃信号及其频谱2常见周期信号的频谱(1)虚指数信号同理:（2）正弦型信号余弦信号及其频谱函数正弦信号及其频谱函数0w0w-w)(p)(p0)(wF（3）一般周期信号两边同取傅立叶变换（4）

10、单位冲激序列因为T(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅立叶级数：单位冲激序列及其频谱函数1.线性特性2.共轭对称特性3.对称互易特性4.展缩特性5.时移特性6.频移特性7.时域卷积特性8.频域卷积特性9.时域微分特性10.积分特性11.频域微分特性12.能量定理傅里叶变换的基本性质1.线性特性其中a和b均为常数。2.共轭对称特性当f(t)为是实函数时，有

11、F(jw)

12、=

13、F(-jw)

14、，f(w)=-f(-w)F(jw)为复数，可以表示为3．时移特性式中t0为任意实数证明：令x=t-t0，则dx=dt，代入上式可得信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中

15、产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。[例1]试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(jw)。[解]无延时且宽度为的矩形脉冲信号f(t)如右图，因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为4.展缩特性证明:令x=at，则dx=adt，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。0wtA2)2(2wFtptp-0wtA)(wFtp2tp2-)2(tftA4t4t-)(21tftt-t0)(tft2t2t-0wtA21)21(21wFtp4tp4-5.互易对称特性6.频移特性（调制定理）若f(t)F(jw)式中0为任意实数证明：由傅立叶变

16、换定义有则信号f(t)与余弦信号cosw0t相乘后，