函数图象问题

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1、函数图象问题数形结合是中学数学的重耍的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点•函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具.一、知识方法1.函数图象作图方法(1)描点法：列表、描点(注意关键点：如图象与兀、y轴的交点，端点，极值点等))、连线(注意关键线：如；对称轴，渐近线等)(2)利用基本函数图象变换。2.图象变换(由一个图象得到另一个图象)：平移变换、对称变换和伸缩变换等。(1)平移变换①水平平移：函数y=/(x+a)的图彖可以把函数y=f(x)的图象沿兀轴方向向左(6/>0)或向右⑺<

2、0)平移

3、a

4、个单位即可得到；②竖直平移：函数)y/(x)+d的图象可以把函数y=/(x)的图象沿y轴方向向上(°>0)或向下(gvO)平移

5、g

6、个单位即可得到.(2)对称变换①函数)u/(—兀)的图象可以将函数)y/(x)的图象关于y轴对称即可得到；②函数),，=_/(兀)的图象可以将函数y二/(劝的图彖关于兀轴对称即可得到；③函数y=-/(-x)的图象可以将函数y=f(x)的图象关于原点对称即可得到；(3)翻折变换①函数兀)

7、的图象可以将函数y=/(x)的图象的x轴下方部分沿兀轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y=/(x)的x轴上方部分即可得到；②函数y=f(x)的图象

8、可以将函数y=/(x)的图彖右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y=f(x)在y轴右边部分即可得到.(4)伸缩变换①函数〉，=妙⑴@>0)的图象可以将函数〉=/(兀)的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a>l)或压缩(0<6Z0)的图象可以将函数y=/(x)的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(0vav1)或压缩(a>1)为原来的丄倍得到.a3.函数图象的对称性：对于函数y=.f(x),若对定义域内的任意x都有①f(a-x)=f(a+x)(或f(x)=f(2a-x)),则.fO)的图象关于直线x=a对称；②f(a-x)+f(

9、a+x)=2&(或f(x)+f(2a-x)=2/?),,则/•⑴的图象关于点P(a,b)对称.4、熟练掌握基本初等函数(如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幕函数，三角函数)的图彖5、作函数图彖的一般步骤：（1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利用描点法或图象变换作图6.判断函数图象的方法判断函数图象是高考屮经常出现的内容，大多属于简单题，值得重视。常用方法有：（1）取点（描点）（2）考虑函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、变化趋势、对称性

10、等方面（3）利用平移（4）利用基本形状4.应用：利用函数图象解决有关问题，即“数形结合”思想解答问题或帮助分析问题。二、题型演练题型一、作函数的图像例1、作岀下列函数的图象.（1）y=l（lgx+

11、lgx

12、）;（2）y二匕；（3）y二（丄）巴2x-12例2、作出y=

13、log2（x+l）

14、+2的图象.解：第—步：作出y=log2x的图象（图①）.第二步：将y=log2x的图象沿兀轴向左平移1个单位得j=logA（x+1）的图象（图②）.第三步：将^=log2（x+l）的图象在兀轴下方的图象，以x轴为对称轴对称到兀轴的上方得y=

15、log2（x+l）

16、的图象）（图③）.第四步:将）V10g2（

17、x+1）I的图象沿〉，轴方向向上平移2个单位，得到yHlog2（x+DI+2的图象（图④）.图①图②图③图④［评注］运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线.要把点取在关键处，要把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点.用图彖变换法作函数图彖要确定以哪一种函数的图彖为基础进行变换，以及确定怎样的变换.这也是个难点.题型二、已知两个函数解析式，指出它们之间的变换或已知一个解析式和变换，求另一个解析式。例3.说明由函数y=2”的图像经过怎样的图像变换得到函数y=2

18、一宀+1的图像.解：方法一：(1)将函数)=2”的图像向右平移3个单位，得到函数歹=2心的图像；(2)作出函数歹=2心的图像关于y轴对称的图像，得到函数=2^3的图像；(3)把函数尸2*3的图像向上平移1个单位，得到函数y=2"+1的图像.方法二例4、已知函数Xx)=log2(x+1),将函数y=/(x)的图彖向左平移一个单位，再将图彖上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数)’=g(x)的图象.求函数的解析式.题型