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《多功能题典高中数学竞赛-18》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、10.1.如图，设有一固定的矩形ABCD,有一动圆弧Be整个在矩形ABCD内，将矩形分成两部分.今作DO】与AB、BC、0C相切，又作口。?与AD.CD、规C相切，求证：斤+心为定值,此处斤、$分别为nq、ciq的半径.解析设Be所在圆记为30,当Be为4C时(即口O无穷大)，此时斤+2=2斤=AB+BC—AC,于是我们的目标就是对一般情况证明斤+r,=AB+BC—AC.不妨设DO半径为1,且0在坐标原点(图中未画出)，A(cosg,sina),C(cos&,sinQ).同C全在矩形中。可认为矩形在第一象限，ax&均为锐角，a>0.(cosg+
2、斤『+(sin&+斤$=(1-斤)2,(cos0-q『+(sina-q)2=(l+2)c.a(・&0丫2cos"—sin—+cos—2)・&0}同理J(1+cos&)(l+sin&)=血cos—Isin—+cos—,2l22于是,这都是相切得出的勾股方程.由此解得/;=75J(1+cosa)(1+sin&)-1-cosa-sin&,r2=l+cos&+sina-V^J(l+cos0)(l+sina),由于=V2cos—•21sin—+cos—<2I22)J(1+coscr)(l+sin&)(・0sin—8、+cos—-2cos^(・asm—+c
3、os—I22丿2k22JX+2=(cos&-cosa)+(sina-sin&)+2cos—2=(cos0一cosa)+(sina-sin&)+2sin—coscos—sin—i2222丿a—0=(cos0-cosa)+(sina-sin6)-2sin=BC+AB-AC・10・1・设锐角AABC内有P、Q两点，使得ZACP=ZBCQ,ZCAP=ZBAQf过点P作BC、CA.AB的垂线，垂足分别为点D、E、F,求证：ZDEF=90°当且仅当点。是△BDF的垂心.解析如图，若ZFED=90°,由于点A、F、P、E共圆，点P、E、C、D共圆，故ZBAP
4、=ZFEP=90°-APED=90°-ZPCD,于是易见△APFsAPCD.又易知ZQAC=ZFAP,ZQCA=ZPCD,所以△APFAACQAPCD,由于这是顺相似，故有△AF0sAAPCs△QDC,于是^=—,QD=—AP=APcosZPCD=APcosZAPF=FP.同CDCPCP理FQ=PD,T是四边形FQDP是平行四边形.这样，便有F0〃PD。DQ〃PF,于是FQ丄BD,DQ丄BF,即点Q为之垂心.反之，若点Q为△FBD之垂心，则问题不那么好处理.我们从平行四边形PDQF入手.易知，若能证得ZAQC=90。，贝I」乙FED=乙FEP+
5、ZDEP=ZEAP+ZDCP=ZQAE+ZQCE=180°-ZAQC=90°.下设=,FP=ci,PD=b,ZQAB=a,乙PAB=卩,于是ZBAC=a+0.我们的Fl标是些二cos0(这样4Q丄QC了).由于ACoFPFPatanp———■yAFAM一FM/?cos/9cota-bsin0AB=AM+BM=/?cos&cotcr+MDcotG=bcos0cota+(a+bcos&)cot&而,nSin(a+0)八叩=bcosO+acot&sinasin&sin(a+&)=beat6+acot0,sina所以sin&AC=AB—7-sin(&+
6、Q+0)〈sm(a+0)=bcotOisina(sin(a+&)'=b一+aisina+acot&COS&sin&sin(&+a+0)丿sin(&+G+0)又=竺时，于是，问题就变成求证：sincrsina進屮sin("+&)+J丿sin(0+a+0)sinacos&cos0nn'sin(a+&)asina'1cos&cos&cos0十Rasinacos0_sin(&+a+0)"TT"—1COSIJ+■_bcos&丿sin(&+a+0)Lbsin(°+0)sin(a+0)此时，右式=sin0cot(a+&)+cos0,这样，两边消去cos0,即
7、知只需证£•sin：cos彳=sin0cot(a+&).由tan0hsin(a+0)的表达式，上式进一步化为sina=cos(a+&),sinacos0cota-sin&cos(a+&)=sincr=左式.coscosa-sinOsinaio.i.43**★★设Eiq与nq交于Q两点,过点p任作两条直线apb和cpd,其中点a、c在口0
8、上，点B、D在LJQ上.M.N分别是AD.BC中点，O为O.OjP点，ZAPC=&为锐角,设力为点。至MN的距离，K为P0中点，求证：h=OKcos0.解析设qO2=d,并不妨设r2^r]fC4、3D延长后交于
9、点X.又设4B中点为S,连结MS、NS、NO、MO、0/、0}C、02B、02D、QC、QD、O、P、02P.如图a所示.X图o易知MS=丄BD=qs
